Repensando a Aritmética: Um Guia Visual

A Aritmética nos fornece ferramentas matemáticas para “esticar, amassar e deslocar” números. Essas transformações são úteis: às vezes há coisas no mundo real que queremos esticar, amassar e deslocar do mesmo modo.

Por que essa ideia é importante?

Ver a Aritmética como um tipo de transformação prepara você para entender o sentido de conceitos aparentemente estranhos, como a raiz quadrada de -1, e visualizar os problemas de uma maneira nova. Vamos dar uma olhada.

Adição

A adição é uma operação simples, mas ela pode ter vários significados:

  • Acumular: contar quantidades similares (itens tangíveis, em geral);
  • Deslocar: mudar um número de posição ao longo de uma escala (para coisas menos tangíveis, como a temperatura);
  • Combinar: criar uma nova quantidade a partir de outras duas diferentes (como as notas de um acorde musical).

Conceitos da Adição

Qual é o significado certo? Tudo depende do contexto. Ao adicionar maçãs, contamos itens semelhantes (3 maçãs + 4 maçãs = 7 maçãs). Ao medir a temperatura, o calor se move ao longo de uma escala (3 graus + 4 graus = 7 graus).

Ao adicionar vetores, uma combinação faz mais sentido: 3 quarteirões a leste + 4 quadras ao norte = 5 blocos em uma nova direção (distância em linha reta). Neste caso, você deve acompanhar os componentes “leste” e “norte” separadamente. Ao adicionar maçãs, você pode combinar tudo: uma vez que você tem 7 maçãs, você não se importa se elas vieram de grupos de 3 maçãs e 4 maçãs.

Uma única operação (adição) pode assumir vários significados intuitivos. E essa lista não é exaustiva – elas são as interações que eu notei; tenho certeza que você tem outras.

Mutiplicação

A multiplicação também podem ser interpretada de várias formas:

  • Repetição: realizar várias adições seguidas.
  • Escala: fazer um número crescer ou diminuir, de uma só vez.

Conceitos da Multiplicação

O contexto determina o significado mais adequado. Com maçãs, “4x” significa transformar uma compra de, por exemplo, 2 maçãs em uma compra de 8 (4 grupos de 2). No Photoshop ou no Paintbrush, “4x” significa ampliar uma foto de 10 centímetros para ela ficar com 40 centímetros de comprimento. Cada significado é diferente: você ficaria chateado se eu te desse uma maçã gigante de 2 quilos ou 4 fotos de 10 cm.

Em um sentido mais restrito, a multiplicação significa “somas repetidas”. Claro. Mas esta nem sempre é a interpretação mais fácil – você consegue somar, repetidamente, alguma coisa por 7,3 vezes?

Negativos e Inversos

Ambos os número negativos e os inversos (multiplicativos) representam a ideia de “reverso” ou “ao contrário”. Mas isso pode ter uma interpretação ambígua: qual é o contrário de multiplicar por dois? É multiplicar por “1/2” ou por “-2”?

Negativo e Inverso

“Ao contrário” neste caso pode significar então:

  • Multiplicar pela metade: transformar um lucro de R$ 1,00 em um lucro de R$ 0,50 (diminuir a escala dele);
  • Multiplicar por -2: transformar um lucro de R$ 1,00 em uma perda de R$ 2,00 (revirar);

Mais uma vez, o nosso contexto determina o significado. Quando uma empresa “reverte um ganho”, isso implica uma perda, isto é, uma multiplicação por um número negativo. Quando nós “revertemos o zoom” da câmera, queremos diminuir a foto (não espelhá-la), de modo a multiplicar seu tamanho por 1/2. Contexto, contexto, contexto (já se cansou dessa palavra?).

Na adição, só há um tipo de oposição: o número oposto a 8 é -8. Mas o truque é saber que -8 realmente significa “0 – 8” ou mesmo “0 + (-8)”: você está se movendo para trás em relação a algum ponto de referência. Recordando os vetores mostrados na seção “Adição”, um movimento “reverso” tem diferentes significados dependendo se o seu sentido original é o leste (o reverso é o oeste) ou o norte (o reverso é o sul).

O que há em uma Equação?

Equações nos obrigam a fazer algumas perguntas. Quando você vê a equação

x^2=9

isso é mais do que apenas um problema do tipo “entra um número, sai outro”. Pense agora sobre esse problema da seguinte forma:

1 \times x^2=9

Qual transformação (multiplicar “x” vezes), quando aplicada duas vezes, vai transformar o número 1 no número 9?

Conceito de Raiz Quadrada

Temos duas respostas:

  • Mudar a escala para 3 (multiplicar por 3): Faça duas vezes e você terá 9: 1 x 3 x 3 = 9;
  • Mudar a escala para 3 e opor (multiplicar por -3): Fazendo duas vezes, você também terá 9: 1 x -3 x -3 = 9.

Estilo. Eu inclui o número “1” para mostrar o que está sendo transformado. Claro, fazer isso é opcional, mas não é algo em que pensamos normalmente. A transformação “multiplicar por 3” está agindo sobre o quê?

Dando esse passo para trás, podemos ver melhor como a Aritmética pode empurrar, puxar, esticar e apertar um número em outro. Modificamos uma transformação grande (multiplicar por 9) em outras duas transformações menores e iguais (multiplicar por 3 ou por -3).

Exemplo do Mundo Real: Números Aleatórios

Chega de teoria – vamos colocar esse mindset (mentalidade) em ação. A maioria das linguagens de programação oferecem uma função random() que dá como resposta um número aleatório entre 0 e 1. Mas e se você quiser um número entre 5 e 10?

Exemplo para Número Aleatório

A pergunta é: como faço para transformar minha faixa de 0-1 em uma faixa de 5-10?

A Aritmética é a solução!

  • Primeiro, estique o intervalo 0-1 em 0-5, multiplicando-o por 5;
  • Em seguida, deslize 0-5 para 5-10, adicionando 5;
  • E tcha-nam! Você tem um intervalo de 5-10.

Experimente abaixo. Você começa com um número “r” e o transforma para o intervalo adequado.

instacalc-random-number

A propósito, essa faixa pode ser as idades 18-65, os anos 1960-2007, ou as temperaturas 15 °C  a 40 °C, para as suas simulações. Não importa a sua faixa, você pode começar com o bloco 0-1 e modificá-lo de acordo.

Claro, você pode descobrir isso sem um diagrama, mas às vezes é bom visualizar o que está acontecendo. Nosso cérebro é um supercomputador para o processamento visual, então vamos usar os seus pontos fortes.

A seguir

Este artigo introduziu a ideia de que a Aritmética é uma transformação. Você torce os números em outros, e cada transformação tem um significado, que é mais ou menos adequado de acordo com o contexto: use aquele que você mais gosta.

O objetivo não é transformar a multiplicação em um complicado processo de diagramação. Mas sim mostrar uma técnica, uma mentalidade, uma nova arma para ser usada em operações aparentemente complexas.

Ao estudar Álgebra Linear (matrizes), você pode ver a multiplicação como um tipo de transformação (dimensionar, girar, inclinar), em vez de um grupo de operações que alteram a matriz ao redor. Essa abordagem vai nos ajudar quando cobrirmos os números imaginários, aquele “monstro terrível” que vive confundindo muitos estudantes.

Pequenos insights (percepções) ajudam você a ter o “clique” para as grandes ideais. Happy math.

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