Guia Intuitivo para os Ângulos, Graus e Radianos

É um fato óbvio que os círculos devem ter 360 graus. Certo?

Errado. A maioria de nós não tem a mínima ideia do por que há 360 graus em um círculo. Memorizamos um número mágico como o “tamanho de um círculo” e assim vamos preparados para uma baita confusão quando estudamos Física ou Matemática avançada, com seus “radianos”.

“Radianos tornam a Matemática mais fácil!”, dizem os experts, sem dar um porquê simples o suficiente (discussões envolvendo a série de Taylor não são simples). Hoje iremos revelar o que os radianos realmente são e entender intuitivamente por que eles tornam a Matemática mais fácil.

De onde vêm os Ângulos?

Antes dos números e da linguagem, nós tínhamos as estrelas. As civilizações antigas usavam a Astronomia para marcar as estações, predizer o futuro e aplacar os deuses (na hora dos sacrifícios humanos, era melhor eles não se atrasarem).

Qual a relevância disso para os ângulos? Bem, meu chapa, me explica isto: não é estranho que um círculo tenha 360 graus e um ano tenha 365 dias? E não é estranho que as constelações circulem o céu durante o curso de um ano?

Ao contrário de um legítimo homem do mar, eu duvido que você, pirata de água doce, consiga determinar as estações do ano só de observar o céu noturno: Aqui está a Ursa Maior como vista da cidade Nova York em 2008 (tente qualquer cidade):

Rotação das constelações

As constelações fazem um círculo todos os dias (vídeo). Se você olhar na mesma hora todos os dias (meia noite), elas também farão um círculo ao longo do ano. Aqui está a teoria resumida de como os graus surgiram:

  • Os homens notaram que as constelações se movem em um círculo completo a cada ano;
  • Todos os dia, elas estavam deslocadas de uma pequena quantidade (“um grau”);
  • Uma vez que um ano tem aproximadamente 360 dias, um círculo tinha 360 graus.

Mas, mas… por que não 365 graus em um círculo?

Dê uma folga para os caras: eles tinham relógios solares e não sabiam que um ano deveria ter convenientes 365,242199 graus, como você já sabe.

360 é perto o suficiente de 365 para as coisas funcionarem bem. 360 casa muito bem com o sistema numérico de base 60 dos babilônios e se divide bem (por 2, 3, 4, 6, 10, 12, 15, 30, 45, 90… deu para pegar a ideia).

Basear a Matemática no Sol parece perfeitamente Razoável

A Terra deu sorte: ~360 é um excelente número de dias para um ano. Mas ele parece bem arbitrário: em Marte teríamos aproximadamente 680 graus em um círculo, para o ano marciano mais longo. E em partes da Europa eram usados gradianos, com os quais você divide um círculo em 400 partes.

Muitas explicações terminam aqui dizendo: “Bem, o grau é uma arbitrariedade, mas nós precisamos escolher algum número”. Aqui não: veremos que toda a premissa do grau funciona de trás para frente.

Os Radianos definem, os Graus complicam

Um grau é uma quantidade que me faz, como observador, inclinar minha cabeça para ver você, o movente (aquele que se move). Ele é um pouquinho egocêntrico, você não acha?

Suponha que você tenha visto um amigo correndo em um trajeto longo:

“E aí, Gui, até onde você foi?”

“Bem, eu estava em um bom ritmo, acho que corri uns 3 ou 4 quilômetros.”

“Fica quieto. Até onde eu virei minha cabeça para te ver correndo?”

“O quê?”

“Vou usar só palavras curtas pra ver se você me entende. Estou no centro da pista. Você correu ao redor. Até… onde… eu… virei… minha… cabeça?”

“Você é idiota?”

Egoísta, certo? É assim que nós usamos a Matemática! Escrevemos equações em termos de “Oi, até onde eu precisei virar minha cabeça para ver aquele planeta/pêndulo/roda se mover?”. Eu aposto que você nunca tinha se preocupado com os sentimentos, esperanças e sonhos do pobre pêndulo.

Você acha que as equações da Física precisam ser mais simples para o movente ou para o observador?

Radianos: a Escolha não Egoísta

Muito da Física (e da vida) envolve deixar o seu quadro de referência de lado e ver as coisas pelo ponto de vista de outrem. Em vez de ficar se perguntando até onde viramos nossas cabeças, considere até onde a outra pessoa se moveu.

Graus vs. Radianos

Os graus medem os ângulos a partir do quanto viramos nossas cabeças. Os radianos medem os ângulos a partir da distância percorrida.

Mas distâncias absolutas não são tão úteis, uma vez que ir por 10 km representa diferentes números de voltas dependendo do trajeto. Então dividimos a distância pelo raio para obter um ângulo normalizado:

\text{radiano}=\dfrac{\text{distancia percorrida}}{\text{raio}}

Você geralmente vai ver isso como:

\theta=\dfrac{s}{r}

ou ângulo em radianos (\theta) é o comprimento de arco (s) dividido pelo raio (r).

Um círculo tem 360 graus ou 2\pi radianos — dar a volta completa é igual a 2\pi r / r. Então um radiano é aproximadamente 360^{\circ}/(2\pi) ou 57,3 graus.

Agora, não seja como eu, que queria memorizar essa porcaria pensando: “Ótimo, outra unidade… 57,3 graus é bem esquisito”. Porque só é esquisito quando você está usando o seu ponto de vista!

Mover 1 radiano (unidade) é uma distância perfeitamente normal. Colocando de outra forma, nossa ideia de “um ângulo de 90 graus exatos” significa que o movente passou por \pi/2 nada exatos. Pense sobre isso — “Ô, Gui, você pode correr 90 graus para mim, por favor? Quanto é isso? Ah, sim, do seu ponto de vista serão \pi/2 metros”. A estranheza vai-se embora.

Os radianos são a empatia em forma matemática — uma mudança desde a sua cabeça virando até a perspectiva do movente.

O que um Nome pode dizer?

Os radianos são uma contagem de distância em termos de “unidades do raio”; eu penso em “radiano” como uma abreviação para esse conceito.

Teoricamente falando, os radianos são como o número 1,5 ou o 73, que não são acompanhados por nenhuma unidade (no cálculo “radianos = distância percorrida / raio”, temos comprimento dividido por comprimento, então as unidades se cancelam).

Mas na prática, não somos robôs matemáticos; pensar em radianos como uma “distância” percorrida sobre um círculo unitário nos ajuda a compreender melhor o que se passa.

Usando os Radianos

Eu ainda estou me acostumando a pensar em radianos. Mas encontramos o conceito de “distância do movente” com bastante frequência:

  • Usamos “rotações por minuto” e não “graus por minuto” quando estamos medindo certas velocidades rotacionais. Isso é uma mudança que vai no sentido do ponto de referência do movente (“quantas voltas já foram?”) e contra uma medida arbitrária em graus;
  • Quando um satélite orbita ao redor da Terra, entendemos sua velocidade em “quilômetros por hora”, não “graus por horas”. Agora divida a distância até o satélite e você obtém a velocidade orbital em radianos por hora;
  • O seno, essa função incrível, é definido em termos de radianos como

\text{sen}(x)=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots

Esta fórmula só funciona quando x está em radianos! Por quê? Bem, o seno está fundamentalmente relacionado à distância percorrida, não ao “virar de cabeça”. Mas deixaremos essa discussão para outro dia.

Exemplo com Radianos 1: Rodas do Ônibus

Vamos tentar um exemplo real: você está dirigindo um ônibus com rodas de 2 metros de diâmetro (é um monster truck bus). Eu vou dizer quão rápido as rodas estão rodando e você dirá quão rápido o ônibus está se movendo. Pronto?

“As rodas estão rodando a 2000 graus por segundo”. Você pensaria:

Ok, as rodas estão rodando a 2000 graus por segundo. Isso significa que ela está rodando a 2000/360 ou 5 e 5/9 rotações por segundo. Circunferência = 2 * pi * r, então ele está movendo a… hum… 2 * 3,14 * 5 e 5/9… onde está minha calculadora

“As rodas estão rodando a 6 radianos por segundo”. Você pensaria:

  • Radianos são distância ao longo de um círculo unitário — nós apenas escalamos pelo raio real para ver quão longe nós já fomos. 6 * 2 = 12 metros por segundo. Próxima questão.

Wow! Sem fórmulas malucas, sem variações do pi por aí — só multiplique para converter velocidades rotacionais em velocidades lineares. Tudo porque os radianos falam em termos do movente.

O reverso é fácil também. Suponha que você esteja dirigindo um carrão em uma auto-estrada americana. Você está guiando a 90 pés por segundo (22 m/s). O carro tem rodas de aro 24 polegadas (raio de 1 pé = 30,48 cm). Quão rápido as rodas estão girando?

Bem, 90 pés por segundo / 1 pé de raio = 90 radianos por segundo.

Essa foi fácil. Eu suspeito que é por isso que os rappers americanos criam rimas com aro 24”.

Exemplo com Radianos 2: sen(x)

Hora para um exemplo mais robusto. O Cálculo envolve muitas coisas, e uma delas é o que acontece quando os números tornam-se muito grandes ou muito pequenos.

Escolha um número de graus (x) e coloque o \text{sen}(x) na sua calculadora:

x vs. sen(x)

Quando você diminui x, para 0,01, por exemplo, \text{sen}(x) torna-se igualmente pequeno. E a divisão \text{sen}(x)/x parece ser igual a aproximadamente 0,017 — o que isso significa? Ainda mais estranho, o que significa multiplicar ou dividir por um grau? Podemos ter graus quadrados ou cúbicos?

Radianos ao resgate! Sabendo que eles se referem à distância percorrida (eles não são simplesmente uma razão), podemos interpretar a equação desta forma:

  • x é o quanto você percorreu ao redor de um círculo;
  • \text{sen}(x) é o quão alto no círculo você está.

Então \text{sen}(x)/x é razão entre o quão alto e o quão longe você foi: a quantidade de energia que foi “para cima”.  Se você se move verticalmente, a razão será 100%. Se você se move horizontalmente, a razão será 0%.

Sex(x)/x

Quando alguma coisa se move só um pouquinho, como de 0 para 1 grau na nossa perspectiva, ela está basicamente se movendo para cima. Se ela se mover por uma quantidade ainda menor, de 0 para 0,00001 graus, ela está realmente se movendo para cima. A distância percorrida (x) é muito próxima à altura (\text{sen}(x)).

À medida que x encolhe, a razão fica próxima a 100% — a maior parte do movimento é direcionada para cima. Os radianos nos ajudam a ver, intuitivamente, por que \text{sen}(x)/x se aproximada de 1 à medida que x diminuiu. Estamos apenas esticando uma pequena quantidade na direção vertical. A propósito, isso também explica por que \text{sen}(x) \sim x  para números pequenos.

Claro, você pode provar isso rigorosamente usando Cálculo, mas a intuição com os radianos ajudam você a entender essa ideia.

Lembre-se, essas relações somente funcionam quando se mede ângulos com radianos. Com graus, você está comparando sua altura em um círculo (\text{sen}(x)) com quão longe um observador virou sua cabeça (x graus), e a coisa fica feia bem rápido.

Então, qual a razão deste artigo?

Os graus têm seu lugar: nas nossas próprias vidas somos o ponto focal; queremos ver como as coisas nos afetam. Quanto eu viro meu telescópio, giro meu snowboard ou giro meu volante?

Com as leis naturais, somos observadores descrevendo a movimentação de outros corpos. Os radianos servem para “os outros”, não para nós. Demorou muitos anos para eu perceber que:

  • Graus são arbitrários porque eles são baseados no Sol (365 dias ~360 graus), mas eles funcionam de trás para frente porque eles estão na perspectiva do observador;
  • Porque os radianos estão em termos do movente, as equações “se encaixam” perfeitamente. Converter velocidade rotacional para linear é fácil, e ideias como \text{sen}(x)/x fazem sentido.

Até os ângulos podem ser vistos de mais de um ponto de vista, e entender os radianos tornam as equações matemáticas e físicas mais intuitivas. Happy math.

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