Entendendo por que a Multiplicação Complexa Funciona

Ver os números imaginários como rotações foi um dos meus momentos Aha! favoritos:

Rodar de 1 para -1

 

O i, a raíz quadrada de -1, é um número em uma dimensão diferente! Quando cai a ficha, nós podemos usar a multiplicação para “combinar” rotações de dois números complexos:

Aplicando os Números Complexos

 

Wow, aquilo foi um baque na minha cabeça: somar ângulos sem senos ou cossenos. Infelizmente, eu não tinha uma compreensão intuitiva do por que aquilo funcionava. Vamos consertar isso!

A Explicação Chata: Como?

Aqui está a explicação usual do por que a multiplicação complexa soma os ângulos. Primeiro, escreva os números complexos em coordenadas polares (raio e ângulo):

r1 [\text{cos}(a) + i \text{sen}(a)] \cdot r2 [\text{cos}(b) + i \text{sen}(b)]

Agora, tome o produto, agrupando as partes reais e imaginárias:

ql_c3464f0a514631fce7e5840b2c41d02c_l3

Por fim, note como essa forma coincide com as fórmulas de adição de ângulos de senos e cossenos:

\text{cos}(a+b) = \text{cos}(a) \cdot \text{cos}(b) - \text{sen}(a) \cdot \text{sen}(b)

\text{sen}(a+b) = \text{cos}(a) \cdot \text{sen}(b) + \text{cos}(b) \cdot \text{sen}(a)

E aqui você tem a explicação! O que foi? Você não pensa intuitivamente em função da expansão de senos e cossenos? Pior para você, a matemática bate!

Você ainda está aí? Bom. O problema foi perder a “magia”: é como dizer que dois poemas são similares porque nós analisamos a distribuição de letras. Preciso, mas insatisfatório!

Como todo mundo, eu gosto de senos e cossenos, mas os detalhes devem vir após a ficha cair sobre as relações matemáticas.

A Explicação Divertida: Por quê!

De novo, qual é o nosso objetivo? Ah, sim – ver por que podemos multiplicar dois números complexos somando os ângulos.

Primeiro, vamos esclarecer o que a multiplicação faz:

Multiplicação Convencional e Complexa

 

  • A multiplicação convencional (“vezes 2”) “escala” por um número (torna-o maior ou menor);
  • A multiplicação imaginária (“vezes i“) “gira” o número 90° graus.

E o que acontece se combinarmos ambos os efeitos em um número complexo? Multiplicar por (2+i) significa “dobrar seu número – ah, e somar uma rotação perpendicular”.

Exemplo rápido: 4 \cdot (3+i) = 4 \cdot 3 + 4 \cdot i = 12 + 4i.

Isso é, pegue seu número original (4), faça-o 3 vezes maior (4 \cdot 3) e então adicione o efeito da rotação (+4i). De novo, se desejássemos somente a rotação, multiplicaríamos por i. Se desejássemos somente escalar o número, multiplicaríamos pelo bom e velho 3. Um número complexo (a+bi) tem ambos os efeitos.

Visualizando a Multiplicação Complexa

Essa foi fácil – um número real (4) vezes um complexo (3+i). O que dizer de dois números complexos (“triângulos”), como (3+4i) \cdot (2+3i)?

Multiplicação Complexa

Agora nós estamos conversando! Eu vejo isso como “crie uma versão escalada do nosso triângulo original (vezes 2) e some um triângulo escalado/rotacionado (vezes 3i). O ponto final é o novo número complexo.

Mas… eu amo explicações alternativas. Aqui está outra:

FOIL Breakdown

 

Em vez de agrupar as multiplicações por triângulos, analisamos cada parte do FOIL (first, outside, inside, last) [primeiro, fora, dentro, último]. Adicionar cada componente nos leva por um caminho que termina no mesmo ponto!

Mas, e os ângulos?

Ah, sim, os ângulos. Parece que estamos somando os ângulos, mas podemos ter certeza disso?

Triângulos Similares, Mesmos Ângulos

Capitão Geometria a caminho! Oh, sentimos sua falta desde a oitava série. O resultado (linha azul tracejada) está no mesmo ângulo da inclinação de um triângulo sobre o outro?

Considerando os triângulos originais, empilhamos o triângulo (3+4i) sobre  o outro (2+3i) e “giramos” para obter o ângulo combinado [veja o desenho menor, à esquerda, na figura acima].

No caso da multiplicação, começamos com um triângulo escalado (2x) e o giramos sobre outro triângulo escalado (vezes 3i) [desenho à direita]. Embora ele seja maior, triângulos similares têm os mesmos ângulos – eles só são maiores (mas não pergunte sobre o seu tamanho, ok?).

Nós escalamos o triângulo original (sem mudança no ângulo) e “inclinamos sobre” outro triângulo escalado (sem mudança no ângulo), então o resultado é o mesmo! Eu gosto de ver essas coisas se dando – escalamos, rodamos e bum – estamos sobre o ângulo combinado. O assunto não é “números imaginários”, mas sim uma forma de combinar triângulos sem trigonometria!

Efeitos Colaterais Podem Incluir Mudanças de Tamanho

Note como estamos somando cópias maiores do nosso triângulo original. Qual é a mudança no tamanho, se compararmos com nosso triângulo azul original?

Bem, vamos chamar nosso comprimento original de “x”. Independentemente do que isso seja, vamos terminar obtendo um novo triângulo sobreposto, com tamanho (2x + 3x) (a+bi em geral). E do teoremos de Pitágoras, a distância “real” é:

\sqrt{(ax)^2+(bx)^2}=\sqrt{x^2(a^2+b^2)}=x \cdot \sqrt{a^2+b^2}

Isso é, pegamos o nosso comprimento inicial (x) e escalamos pelo tamanho do novo triângulo (tamanho de a+bi).

Se o novo triângulo tem tamanho 1 (a^2+b^2=1), então a distância não irá mudar!

Alguns Pensamentos

Eu não odeio provas rigorosas [de teoremas] – eu odeio ter que fingir que elas são úteis quando não são. Provas têm dois objetivos:

  • Mostrar que um resultado é verdadeiro. Isso serve para matemáticos apresentarem resultados – estudantes raramente questionam a validade dos fatos em uma aula de Matemática.
  • Mostram por que um resultado é verdadeiro.

Insights reais, satisfatórios, vêm de raciocínios com analogias e exemplos – não da leitura de provas sistemáticas e minimalistas (principalmente aquelas que aparecem com fórmulas de adições de senos e cossenos!).

Poyla disse bem: “quando você se satisfaz com a verdade de um teorema, você começa a prová-lo”.

Happy math.

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