Compreensão Intuitiva da Fórmula de Euler

A identidade de Euler parece desconcertante:

e^{i\pi}=-1

Ela surge de uma fórmula mais geral:

e^{ix}=\text{cos}(x)+i\text{sen}(x)

Wow — estamos relacionando um expoente imaginário ao seno e ao cosseno! E se de alguma forma os ligamos ao pi, ela retorna -1? Será que é possível ter uma visão intuitiva disso?

Não, de acordo com o matemático Benjamin Peirce (1809-1880):

Isso é absolutamente paradoxal; não podemos entender isso, e não sabemos o que isso significa, mas provamos a sua existência e então sabemos que isso deve ser verdade.

Arg, essa atitude faz o meu sangue ferver! Fórmulas não são palavras mágicas para serem memorizadas: nós devemos, devemos, devemos encontrar um insight. Aqui vai o meu:

A fórmula de Euler descreve duas maneiras equivalentes de se mover em um círculo.

Só isso??? Essa equação estonteante é sobre dar voltinhas? Sim — e nós podemos entendê-la construindo algumas analogias:

  • Começando no número 1, imagine uma multiplicação como uma transformação que muda o número: 1 \cdot e^{i\pi};
  • O crescimento exponencial real aumenta um número de forma contínua, por alguma taxa; o crescimento exponencial imaginário roda um número de forma contínua;
  • Crescer por \pi unidades de tempo significa o mesmo que rodar \pi radianos ao redor de um círculo;
  • Portanto, e^{i\pi} significa começar no 1 e rodar \pi (metade do caminho ao redor de um círculo) para alcançar -1.

Essa é a visão de alto nível; vamos mergulhar nos detalhes. A propósito, se alguém tentar impressionar você com e^{i\pi} =-1, pergunte-o sobre o valor de i elevado a i-nésima potência. Se ele não souber lidar com esse problema, é sinal de que a fórmula de Euler ainda é um fórmula mágica para ele.

Entendendo cos(x)+i*sen(x)

O sinal de igual é sobrecarregado de significados. Algumas vezes queremos dizer “faça uma coisa igual à outra” (como x=3). Outras vezes queremos dizer “estas duas coisas descrevem o mesmo conceito” (como em \sqrt{-1}=i).

A fórmula de Euler está no segundo caso: ela exprime duas fórmulas que explicam como se mover em um círculo. Se examinarmos o movimento circular usando trigonometria e viajarmos x radianos:

Atravessando um Círculo

  • \text{cos}(x) é a coordenada x (distância horizontal);
  • \text{sen}(x) é a coordenada y (distância vertical).

A expressão

\text{cos}(x)+i\text{sen}(x)

é uma forma inteligente de comprimir as coordenadas x e y em um único número. A analogia “números complexos são bidimensionais” nos ajuda a interpretar um único número complexo como uma posição sobre um círculo.

Quando definimos x=\pi, estamos viajando \pi unidades ao longo do perímetro de um círculo unitário. Uma vez que a circunferência total é igual a 2\pi, o bom e velho \pi corresponde a meio caminho, nos colocando sobre o ponto -1.

Legal: o lado direito da fórmula de Euler (\text{cos}(x)+i\text{sen}(x)) descreve o movimento circular com números complexos. Agora vamos descobrir como o lado do e na equação realiza esse movimento.

O que é um crescimento imaginário?

Combinar as coordenadas x e y em um número complexo é complicado, mas “manejável”. Mas o que um exponente imaginário significa?

Vamos dar um pequeno passo para trás. Quando eu vejo 3^4, eu penso no seguinte:

  • 3 é o resultado final do crescimento instantâneo (usando e) com uma taxa de \text{ln}(3). Em outras palavras: 3=e^{\text{ln}(3)};
  • 3^4 é o mesmo que crescer até 3, mas então 4 vezes mais. Então 3^4=e^{\text{ln(3)} \cdot 4}=81.

Em vez de ver os números em si mesmos, você pode pensar neles como alguma coisa que será aumentada através do e. Um números real, como 3, fornece uma taxa de crescimento de \text{ln}(3)=1,1, e isso é o que o e vai “coletando” à medida que cresce continuamente.

O crescimento exponencial real é simples: ele continua “empurrando” um número na mesma direção real. 3 \cdot 3 empurra o 3 na mesma direção, fazendo-o 3 vezes maior (9).

Crescimento Imaginário

O crescimento imaginário é diferente: o “retorno” (aquilo que coletamos) fica em uma direção diferente! É como um motor a jato que foi amarrado por ambos os lados – em vez de ir para a frente, ele começa a girar 90 graus.

O legal sobre um empurrão ortogonal (perpendicular) constante é que ele não o acelera ou desacelera – ele só roda você! Multiplicar qualquer número por i não irá mudar sua magnitude, mas somente a direção em que ele aponta.

Intuitivamente, é assim que vejo uma taxa de crescimento imaginária e contínua: “Quando eu cresço, não me empurre para trás ou para frente na direção em que eu estava indo. Em vez disso, me rode.”

Mas não deveríamos girar cada vez mais rápido?

Eu também pensava isso. O crescimento “normal” compõe na direção original, então vamos por 1, 2, 4, 8, 16, multiplicando 2x cada vez, mas permanecendo entre os números reais. Podemos considerar essa sequência como e^{\text{ln}(2)x}, que significa crescer instantaneamente por uma taxa de \text{ln}(2) por x segundos.

E olha só — se nossa taxa de crescimento for duas vezes maior (mais rápida), 2 \text{ln}(2) vs. \text{ln}(2), ela se parecerá com o crescimento pelo dobro do tempo (2x vs. x). A mágica do e nos permite fazer uma troca entre a taxa de crescimento e o tempo; 2 segundos a \text{ln}(2) resulta no mesmo crescimento de 1 segundo a 2 \text{ln}(2).

Agora, imagine que nós tenhamos uma taxa de crescimento puramente imaginária (a \cdot i) que nos roda até alcançarmos i, ou 90 graus para cima. O que acontece se dobrarmos a taxa para 2a \cdot i? Vamos sair do círculo?

Não! Ter uma taxa de 2a \cdot i significa que estamos girando duas vezes mais rápido ou, de forma alternativa, que estamos girando pelo dobro do tempo, mas nos mantemos no círculo. Girar pelo dobro de i significa que estamos defrontando rotações de 180 graus.

Quando entendemos que algumas taxas de crescimento podem nos levar do 1 até o i, aumentar a taxa apenas nos faz girar mais. Nunca iremos escapar do círculo.

Entretanto, se nossa taxa de crescimento é complexa (a+bi vs. a \cdot i), então a parte real irá crescer da forma tradicional, enquanto a parte imaginária irá fazer a rotação. Mas não vamos complicar, a fórmula de Euler, e^{ix}, só trata de crescimentos puramente imaginários, que nos mantêm sobre o círculo (mais a seguir).

Uma conferência rápida de sanidade

Enquanto escrevo, eu tenho que clarear umas questões para mim mesmo:

Por que usar e^{x}? não estamos rodando o número 1?

O e representa o processo de começar pelo 1 e crescer continuamente a 100% da taxa de crescimento por uma unidade de tempo.

Quando escrevemos e, estamos capturando o processo completo em um único número — e representa todos os “vai-e-vem” do crescimento contínuo. Em outras palavras, dizer e^{x} é o mesmo que “comece no número 1 e cresça a 100% por x segundos”.

Mas o que o i como expoente faz?

Para um expoente como 3^4, perguntamos:

  • Qual a taxa de crescimento implícita? Estamos crescendo do 1 para o 3 (a base do exponente);
  • Como mudamos a taxa de crescimento? Escalamos 4 vezes (a potência do expoente).

Podemos converter nosso crescimento no formato do e: nossa taxa instantânea é \text{ln}(3) e nós a aumentamos para \text{ln}(3)\cdot 4. De novo, o “expoente superior” 4 somente escalou nossa taxa de crescimento:

3^4=e^{\text{ln}(3) \cdot 4}=\left(e^{\text{ln}(3)}\right)^4

Quando o expoente superior é igual a i (como em 3^i), nós simplesmente multiplicamos nossa taxa de crescimento implícita por i. Então, em vez de crescer com a taxa \text{ln}(3), crescemos à taxa \text{ln}(3) \cdot i.

\displaystyle 3^i=e^{\text{ln}(3)\cdot i}=\left(e^{\text{ln}(3)}\right)^i

A parte superior do expoente modifica a taxa de crescimento implícita da parte inferior.

Os detalhes fundamentais

Vamos dar uma olhada mais de perto nos detalhes. Lembre-se da definição de e:

\displaystyle e = \lim_{x to \infty} \left(1+\dfrac{100\%}{n}\right)^n

Esse 1/n representa o acumulado em cada n-ésima iteração. Assumimos que o acumulado era real — mas se ele for imaginário?

\displaystyle e = \lim_{x to \infty} \left(1+\dfrac{100\% \cdot i}{n}\right)^n

"Retorno" Imaginário Cumulativo

Agora, o novo acumulado faz acréscimos na direção 90 graus. Surpreendentemente, isso não muda nosso comprimento — esse é um conceito complicado porque ele parece criar um triângulo no qual a hipotenusa deve ser maior. Estamos lidando com um limite, e a distância extra está dentro da margem de erro que nós especificamos. Eu gostaria de enfrentar isso outro dia, mas grave isso: taxas de crescimento perpendiculares irão fazer você rodar. Isso é o coração do seno e cosseno, nos quais a mudança é perpendicular em relação à sua posição atual, e você se move em um círculo.

Aplicamos i unidades de crescimento em incrementos infinitesimais, cada um nos empurrando a 90 graus. Não há uma rotação “cada vez mais rápida”; em vez disso, rastejamos ao redor do perímetro uma distância igual a |i| (magnitude de i).

E puxa — a distância percorrida ao redor de um círculo é um ângulo em radianos! Descobrimos outra forma de descrever movimentos circulares!

Para conseguir movimentos circulares: Mude de posição continuamente, rodando 90 graus (também conhecida como taxa de crescimento imaginária).

Portanto, a fórmula de Euler está dizendo “trace aumentos exponenciais, imaginários circularmente”. E esse caminho é o mesmo que se mover em um círculo usando senos e cossenos no plano imaginário.

Nesse caso, a palavra exponencial é confusa porque viajamos ao redor do círculo a uma taxa constante. Na maioria das discussões, assume-se que o crescimento exponencial tem um efeito acumulativo.

Alguns exemplos

Você não está acreditando em mim, está? Aqui vão alguns exemplos, e como pensá-los intuitivamente.

Exemplo: e^i

Onde está o x? Ah, ele é igual a 1. Intuitivamente, sem pegar a calculadora na gaveta, sabemos que isso significa “viajar 1 radiano ao redor de um círculo unitário”. Na minha cabeça, eu vejo o e tentando crescer 1 a 100% na mesma direção, mas o i continua movendo a bola, forçando o “1” a crescer ao longo da borda de um círculo:

e^i=\text{cos}(1)+i \cdot \text{sen}(1) = 0,5403+0,8415i

Não é o número mais bonito do mundo, mas aí está ele. Lembre-se de colocar sua calculadora no modo radiano quando estiver envolvido nessas contas.

 Exemplo: 3^i

Esse é desafiador, pois não é o nosso formato padrão. Mas lembre-se,

3^i = 1 \cdot 3^i

Queremos um crescimento inicial de 3 vezes no fim do período ou uma taxa instantânea de \text{ln}(3). Mas, o i chega no pedaço e muda aquela taxa de \text{ln}(3) para i \cdot \text{ln}(3):

\displaystyle 3^i = \left(e^{\text{ln}(3)}\right)^i = e^{\text{ln}(3) \cdot i}

Nós pensávamos que a transformação ocorreria a uma taxa regular de \text{ln}(3), um pouco mais rápido do que a crescimento contínuo a 100%, uma vez que e é aproximadamente 2,718. Mas, oh não, o i nos colocou para girar: agora estamos transformando a uma taxa imaginária, o que significa que estamos apenas andando em círculos. Se o i fosse um número normal, como o 4, ele nos teria feito crescer quatro vezes mais rápido. Agora, estamos crescendo a uma velocidade de \text{ln}(3), mas lateralmente.

Devemos esperar um número complexo sobre o círculo unitário – não há nada na taxa de crescimento para aumentar nosso tamanho. Resolvendo a equação:

3^i=e^{\text{ln}(3) \cdot i} = \text{cos}[\text{ln}(3)]+i \cdot \text{sen}[\text{ln}(3)]  = 0,4548 + 0,8906i

Então, em vez de terminarmos “1” unidade ao redor do círculo (como em e^i), terminamos \text{ln}(3) ao redor.

Exemplo: i^i

Há alguns meses atrás, esse problema teria me feito chorar. Hoje não! Vamos quebrar as transformações:

i^i=1 \cdot i^i

Começamos com 1 e queremos mudá-lo. Assim como no exemplo de 3^i, a taxa de crescimento instantânea representada por i como uma base?

Hum. Normalmente nós iríamos fazer \text{ln}(x) para obter a taxa de crescimento necessária par alcançar x no final de uma unidade de tempo. Mas para uma taxa imaginária? Precisamos improvisar alguma coisa.

Para começar com 1 e crescer até i, precisamos começar a rodar desde o princípio. Quão rápido? Bem, precisamos rodar 90 graus (\pi/2 radianos) em uma unidade de tempo. Então nossa taxa é i \cdot \pi/2. Lembre-se de que nossa taxa deve ser imaginária, pois estamos rodando, não crescendo. Se utilizássemos simplesmente \pi/2, obteríamos simplesmente 1,57, resultando em um aumento real.

Isto deve fazer sentido: para transformador 1 em i após uma unidade de tempo, devemos rodar \pi/2 radianos (90 graus) nesse período. Então, podemos substituir i por e^{i \frac{\pi}{2}}:

\displaystyle i=e^{i \cdot \frac{\pi}{2}}

Fiu… isso descreve i como a base. E o que dizer sobre o expoente?

Bem, o outro i nos diz para mudar nossa taxa – sim, a taxa que gastamos tanto tempo para entender! Então, em vez de rodar a uma velocidade de  i \pi/2, que é o que nossa base i significa, transformamos a taxa para:

\displaystyle \dfrac{\pi}{2}i \cdot i =  \dfrac{\pi}{2} \cdot -1 = -\dfrac{\pi}{2}

Os is se cancelam e fazem a taxa de crescimento se tornar real novamente! Rodamos nossa taxa, colocando-a no lado dos números negativos. E um crescimento negativo significa que estamos diminuindo – esperamos que i^i torne os números menores. E ele torna:

\displaystyle i^i=e^{- \frac{\pi}{2}} \approx 0,2

Tãdã! (Procure “i^i” no Google para usar sua Calculadora).

Respire um pouco: você pode perceber intuitivamente como bases e exponentes imaginários devem se comportar. Uau.

E, como um bônus, você aprendeu como usar \text{ln}(i) para fazer a função e^x se transformar em i, fazendo e rodar por \pi/2 radianos:

\displaystyle \text{ln}(i)=i \cdot \dfrac{\pi}{2}

Exemplo: (i^i)^i

Um exponente imaginário duplo? Se você quer realmente insistir…

Primeiro, sabemos a taxa de crescimento que teremos dentro dos parênteses:

\displaystyle i^i = (e^{\frac{\pi}{2}i})^i = e^{-\frac{\pi}{2}}

Obtemos uma taxa de crescimento negativo (encolhimento) de -\pi/2. E agora modificamos a taxa de novo por i:

\displaystyle (i^i)^i = (e^{-\frac{\pi}{2}})^i = e^{-\frac{\pi}{2}i}

E então temos uma rotação negativa! Iremos rodar ao redor do círculo a uma taxa de -\pi/2 por unidade de tempo. Quão longe iremos? Bem, existe uma unidade de tempo implícita igual a “1” no topo da cadeia deste expoente; o padrão impõe ir por uma unidade de tempo (como em e=e^1). Uma unidade de tempo nos dá uma rotação de -\pi/2 radianos (-90 graus) ou -i!

(i^i)^i=-i

E para quebrar tudo, se elevamos ao quadrado esse resultado maluco:

[(i^i)^i]^2=-1

O que equivale a dobrar a rotação: 2 é um número natural, então ele simplesmente dobra nossa taxa de rotação para -180 graus em uma unidade de tempo. Ou você pode ver isso como duas rotações de -90 graus seguidas.

À primeira vista, todos esses expoentes são muito estranhos. Mas com as nossas analogias, conseguimos dar um jeito.

Crescimento complexo

Podemos ter crescimentos reais e imaginários ao mesmo tempo: a parte real escala o número, a parte imaginária roda:

Crescimento Real e Imaginário

Uma taxa de crescimento complexa como a+bi é um mix de crescimento real e imaginário. A parte real a significa “crescer a 100% por a segundos” e a parte imaginária b significa “rodar por b segundos”. Lembre-se, rotações não tem o “benefício” da acumulação uma vez que estamos empurrando os números em uma direção diferente – em outras palavras, a rotação adicional linearmente.

Com isso em mente, podemos representar qualquer ponto sobre um círculo utilizando a+bi! O raio é e^a e o ângulo é determinado por e^{bi}. É como colocar um número no expand-o-tron por dois ciclos: um para crescer até o tamanho certo (a segundos) e outro para rodar até o ângulo certo (b segundos). Ou podemos rodar primeiro e depois crescer.

Suponha que nós queiramos saber a quantidade necessária para crescer até 6+8i. É o mesmo que perguntar pelo logaritmo natural de um número imaginário: como crescemos o e para obtermos 6+8i?

  • Raio: Qual grande é o círculo que precisamos? Bem, a magnitude é \sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10. O que significa que precisamos crescer para text{ln}(10) = 2,3 segundos para alcançar esse valor.
  • Rotação: Qual o ângulo deste ponto? Podemos usar o arcotangente: \text{arctan}(8/6)=0,93 radianos ou 53 graus.
  • Combine o resultado: \text{ln}(6+8i ) = 2,3+0,93i.

Isto é, podemos alcançar o ponto aleatório 6+8i se usarmos e^{2,3+0,93i}.

Por que isso é útil?

A fórmula de Euler nos dá outro meio de descrever o movimento sobre um círculo. Mas já podíamos fazer isso usando senos e cossenos – o que há então de tão especial?

Dois Caminhos, Mesmo Resultado

Tudo depende da perspectiva. Senos e cossenos descrevem o movimento em termos de um grid, apontando coordenadas horizontais e verticais.

A fórmula de Euler usa coordenadas polares – qual sua distância e ângulo? Novamente, há duas formas [ndt: existem mais, claro] de descrever um movimento:

  • Coordenadas retangulares: vá 3 unidades para o leste e 4 para o norte;
  • Coordenadas polares: vá 5 unidades pelo ângulo 53,15 graus.

Dependendo do problema, ou as coordenadas retangulares ou as polares serão mais úteis. A fórmula de Euler nos permite converter entre as duas a fim de utilizarmos a melhor ferramenta para nosso problema. Além disso, porque e^{ix} pode ser convertido em seno e cosseno, podemos reescrever fórmulas em trigonometria como variações do e, o que vem a calhar em várias situações (não é necessário memorizar \text{sen}(a+b) porque você pode derivar a fórmula – mais sobre isso em outro artigo). E é bonito que qualquer número, real ou complexo, seja uma variação do e.

Mas foquemos no que é realmente importante: o resultado principal é a tomada de consciência de que equações aparentemente desorientadoras podem se tornar intuitivas com as analogias certas. Não deixe que equações bonitas como a fórmula de Euler fique no nível das palavras mágicas – construa suas analogias que você verá os insights dentro da equação.

Referências

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