Um Guia Interativo para a Transformada de Fourier

A Transformada de Fourier é um dos mais profundos insights de todos os tempos. Infelizmente, o seu significado está enterrado nesta densa equação:

\displaystyle X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-i2\pi kn / N}

\displaystyle x_n = \dfrac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} X_k \cdot e^{i2\pi kn / N}

Caramba! Em vez de metermos a cara nos símbolos, vamos primeiro ter contato com a sua ideia chave. Aqui vai uma metáfora em português claro:

  • O que a Transformada de Fourier faz? Dado um shake de frutas, ela encontra a sua receita.
  • Como? Passando o shake em filtros para extrair cada ingrediente.
  • Por quê? As receitas são mais fáceis de analisar, comparar e modificar do que o próprio shake.
  • Como nós podemos obter o shake de volta? Misturando os ingredientes.

E aqui está a versão em “português matemático” da explicação acima:

A Transformada de Fourier toma um padrão variante no tempo, mede todos os ciclos possíveis que o compõe e retorna a receita do ciclo agregado (a intensidade, o ponto inicial e a velocidade de rotação para todos os ciclos encontrados).

Então já podemos resolver algumas equações? Ainda não! Vamos botar a mão na massa e experimentar como qualquer padrão pode ser construído com ciclos [círculos girantes], utilizando algumas simulações.

Se tudo correr bem, teremos um momento Aha!, e intuitivamente perceberemos porque a Transformada de Fourier funciona. Vamos deixar os detalhes da análise matemática para depois.

Não vamos fazer uma marcha-forçada através das equações, mas sim um passeio casual que eu gostaria de ter tido quando precisei aprender essa transformada.

Em frente!

Do Shake para a Receita

Uma transformação matemática é uma mudança de perspectiva. Mudamos nossa noção de quantidade de “itens individuais” (linhas na areia, contagem com “palitinhos”) para “grupos de 10” (decimais) dependendo do que estamos contando. Pontuações num jogo? Agrupe-as. Multiplicações? Use decimais, por favor.

A Transformada de Fourier muda nossa perspectiva de consumidor para produtor, transformando “O que eu vejo?” em “Como foi feito?

Em outras palavras: dado um shake, vamos encontrar a sua receita.

Por quê? Bem, as receitas são excelentes descrições para as bebidas. Você não daria a ninguém uma explicação detalhe por detalhe do que acabou de beber, mas simplesmente diria “eu tomei uma vitamina de laranja e banana”. Uma receita é mais fácil de categorizar, comparar e modificar do que o próprio objeto em si.

Portanto… dado um shake, como nós achamos a sua receita?

Shake para receita

Bem, imagine que você tenha por aí alguns filtros:

  • Despeje o shake pelo filtro de banana. 30 mL de banana é extraído.
  • Despeje de novo pelo filtro de laranja. Saem 60 mL de laranja.
  • E despeje pelo filtro de leite. 90 mL de leite.
  • Despeje o resto pelo filtro de água. Mais 90 mL de água.

Podemos fazer a engenharia-reversa na receita filtrando cada ingrediente. O segredo?

  • Os filtros devem ser independentes. O filtro da banana deve capturar bananas, e nada mais. Adicionar mais laranjas não deve afetar nunca a captura da banana.
  • Os filtros devem ser completos. Não teremos a receita verdadeira se deixarmos de lado um filtro (“Haviam mangas também!”). Nossa coleção de filtros deve pegar até o último ingrediente.
  • Os ingredientes devem ser misturáveis. Vitaminas podem ser separadas e recombinados sem problemas (Misturar um biscoito? Nem tanto. Quem quer pedacinhos?). Os ingredientes, quando separados e combinados em qualquer ordem, devem produzir o mesmo resultado.

Ver o Mundo como Ciclos

A Transformada de Fourier toma um ponto de vista particular: E se qualquer sinal puder ser filtrado num monte de caminhos circulares?

Uau! Esse conceito é surpreendente, mas o pobre do José Fourier teve sua ideia rejeitada a princípio. (Tem certeza, Zé? Até um padrão de “escada” pode ser criado a partir de círculos?).

E apesar de décadas de debate na comunidade matemática, é realmente esperado que os alunos internalizem essa ideia sem dificuldades. Duh. Vamos passear pela intuição.

A Transformada de Fourier encontra a receita para um sinal, como no nosso processo para o shake:

  • Comece com um sinal baseado no tempo;
  • Aplique filtros para medir cada “ingrediente circular” presente;
  • Junte toda a receita, listando a quantidade de cada “ingrediente circular”.

Pare. Aqui é onde a maioria dos tutoriais despejam as aplicações de engenharia na sua cara. Não se apavore; pense nesses exemplos como “Uau, finalmente vamos ver o código-fonte (DNA) por trás de ideias que, até há pouco, nos eram confusas”.

  • Se as vibrações de um terremoto podem ser separadas em “ingredientes” (vibrações de diferentes velocidades e intensidades), edifícios podem ser concebidos para evitar a interação com os terremotos mais fortes.
  • Se as ondas de som podem ser separadas em ingredientes (frequências graves e agudas), podemos ressaltar as partes que nos interessam e esconder as outras. O ruído de sons aleatórios pode ser removido. Talvez, “ingredientes sonoros” parecidos possam ser comparados (serviços de reconhecimento de música comparam receitas e não os trechos de áudio bruto).
  • Se dados computacionais podem ser representados a partir de padrões oscilatórios, provavelmente os menos importantes podem ser ignorados. Esta “compressão com pequenas perdas” pode reduzir drasticamente o tamanho de arquivos (e por essa razão arquivos JPEG e MP3 são muito menores do que arquivos brutos BMP ou WAV).
  • Se o nosso sinal é uma onda de rádio, podemos usar filtros para ouvir um canal em particular. No universo dos shakes, imagine cada pessoa prestando atenção num ingrediente diferente: Adão escolheu as maçãs; Bob, as bananas; e o Carlos ficou com a couve (desculpe, camarada).

A Transformada de Fourier é útil na engenharia, claro, mas é também uma metáfora sobre como encontrar a causa-raiz por trás de um efeito observado.

Pense em Círculos, não apenas em Senoides

Uma das minhas grandes confusões estava na separação da definição de “senoide” e “círculo”.

  • Uma “senoide” é um padrão específico de “vai-e-volta” (uma onda seno ou cosseno), e 99% das vezes isso se refere a um movimento em uma dimensão.
  • Um “círculo” é um padrão circular 2D que você provavelmente já conhece. Se você gosta de falar difícil, você pode chamar um caminho circular de uma “senoide complexa”.

Chamar um caminho circular de uma “senoide complexa” é como se referir a uma palavra como “múltiplas letras”. Você deu zoom no nível errado de detalhes. As palavras servem para representar outras coisas e não as próprias letras nas quais elas (as palavras) podem ser divididas.

A Transformada de Fourier trata de caminhos circulares (não de senoides em 1 dimensão), e a Fórmula de Euler é uma maneira inteligente de gerá-los:

Dois Caminhos, Mesmo Resultado

Temos de usar expoentes imaginários para nos mover em círculos? Não! Mas é uma forma conveniente e compacta. E, com certeza, podemos descrever nosso caminho como um movimento coordenado em duas dimensões (real e imaginária), mas não se esqueça o quadro geral: nós estamos apenas nos movendo em um círculo.

Seguindo por trajetórias circulares

Digamos que estejamos conversando ao telefone e, como de costume, eu quero que desenhemos o mesmo círculo simultaneamente. (Você prometeu!) O que eu deveria dizer?

  • Quão grande é o círculo? (A amplitude, ou seja, o tamanho do raio).
  • Quão rápido nós o desenhamos? (A frequência. 1 círculo/segundo é a frequência de 1 hertz (Hz) ou radianos/segundo).
  • Por onde começamos? (O ângulo de fase, em que 0 graus é o eixo x).

Eu poderia dizer “raio de 2 centímetros, começando em 45 graus, 1 círculo por segundo, vai!”. Depois de meio segundo, nós devemos estar cada um apontando para: ponto de partida mais quantidade viajada = 45 + 180 = 225 graus (no círculo de 2 centímetros).

descrever um caminho circular

Toda trajetória circular precisa de um tamanho, velocidade e ângulo inicial (amplitude/frequência/fase). Podemos até combinar trajetórias: imagine minúsculos automóveis se movendo em círculos com velocidades diferentes.

A posição combinada de todos os círculos é o nosso sinal, assim como o sabor combinado de todos os ingredientes é o nosso shake.

Aqui está uma simulação de uma trajetória circular básica.

Animacao Circulo
Clique para abrir a animação

(Baseado nesta animação, aqui está o código-fonte. É necessário um navegador de internet atualizado para visualizá-la. Clique no gráfico para pausar/prosseguir.)

A magnitude de cada ciclo é listada em ordem, iniciando em 0 Hz. Ciclos [0 1] significa:

  • Força 0 para o ciclo de 0 Hz (0 Hz = um ciclo constante, preso no eixo X em zero graus).
  • Força 1 para o ciclo de 1 Hz (1 ciclo completo por intervalo de tempo).

A parte desafiadora agora:

  • O gráfico azul mede a parte real do ciclo. Outra confusão matemática “adorável”: o eixo real do círculo, que normalmente é horizontal, tem sua magnitude mostrada no eixo vertical do gráfico. Você pode rodar mentalmente o círculo 90 graus se quiser.
  • Os pontos de tempo são espaçados a partir da frequência mais rápida. Um sinal de 1 Hz precisa de 2 pontos de tempo para marcar o seu começo e fim (um único ponto de registro não representa nenhuma frequência). O valor no tempo [1 -1] mostra a amplitude nestes intervalos igualmente espaçados.

Está comigo? [0 1] é um ciclo de 1 Hz puro.

Agora vamos adicionar um ciclo de 2 Hz na mistura. [0 1 1] significa “nada em 0 Hz, 1 Hz de força 1, 2 Hz de força 1”:

Circuito 2 Hz
Clique para abrir a animação

Uau! Os carrinhos estão ficando selvagens: as linhas verdes são os ciclos de 1 Hz e de 2 Hz, e a linha azul é o resultado combinado. Tente alternar a caixa de seleção verde para ver o resultado claramente. O “sabor” combinado é uma oscilação que começa no máximo e desce de uma vez para o resto do intervalo.

Os pontos amarelos são quando efetivamente medimos o sinal. Com 3 ciclos definidos (0 Hz, 1 Hz, 2 Hz), cada ponto é 1/3 da trajetória do sinal. Nesse caso, ciclos [0 1 1] gera valores no tempo [2 -1 -1], quando começa no máximo (2) e desce de uma vez (-1).

Oh! Não podemos esquecer da fase, o ângulo inicial! Use magnitude:ângulo para especificar a fase. Assim [0 1:45] é um ciclo de 1 Hz que começa em 45 graus:

Círculo 45 graus
Clique para abrir a animação

Essa é uma versão deslocada de [0 1]. No lado do tempo nós conseguimos [.7 -.7] em vez de [1 -1] porque nosso ciclo não está exatamente alinhado com nossos intervalos de medição, que ainda estão na metade do caminho (isso poderia ser desejado!).

A Transformada de Fourier encontra as velocidades, intensidades e fases de um conjunto de ciclos que coincidem com qualquer sinal variável no tempo.

Nosso sinal torna-se uma noção abstrata que consideramos como “observações no domínio do tempo” ou “ingredientes no domínio da frequência”.

Chega de papo: Experimente! No simulador, digite qualquer tempo ou padrão de ciclo que você gostaria de ver. Se forem pontos no tempo, você conseguirá uma coleção de ciclos (combinados numa “onda”) que corresponde aos seus pontos desejados.

padroes de tempo

Mas… a onda combinada não tem valores estranhos entre os intervalos de tempo amarelos? Com certeza. Mas quem vai dizer se um sinal viaja em linhas retas, ou curvas, ou até pula para outras dimensões quando não o medimos? Ele se comporta exatamente como precisamos naqueles momentos igualmente espaçados que definimos.

Fazendo um pico no tempo

Podemos fazer um pico no tempo, como (4 0 0 0), usando ciclos? Usarei parênteses () para uma sequência de pontos no tempo, e colchetes [] para uma sequência de ciclos.

Embora o pico pareça chato para nós, “moradores do tempo” (um só ponto de medição, é isso mesmo?), pense sobre a complexidade no universo dos ciclos. Nossos ingredientes de ciclos devem começar alinhados (no valor máximo, 4) e então “explodir para fora”, cada ciclo com padrões que, somados, se cancelam no futuro. Todo ponto remanescente é zero, que é um equilíbrio complicado quando múltiplos ciclos estão correndo ao redor do círculo (nós não podemos simplesmente “desligá-los”).

Vamos passear por cada ponto no tempo:

  • No tempo 0, o primeiro instante, cada ingrediente do ciclo está no máximo. Ignorando os outros pontos no tempo, (4 ? ? ?) pode ser feito a partir 4 ciclos (0 Hz 1 Hz 2 Hz 3 Hz), cada um com uma magnitude 1 e fase 0 graus (isto é, 1 + 1 + 1 + 1 = 4).
  • Em cada ponto futuro (t = 1, 2, 3), a soma de todos os ciclos deve se cancelar.

Aqui está o truque: quando dois ciclos estão em lados opostos do círculo (Norte e Sul, Leste e Oeste, etc.) a posição combinada deles é zero (3 ciclos podem se cancelar se eles estiverem espalhados uniformemente a 0, 120 e 240 graus).

Imagine uma constelação de pontos se movendo ao redor de um círculo. Aqui está a posição de cada ciclo a cada instante:

Tempo 0 1 2 3
------------
0 Hz: 0 0 0 0
1 Hz: 0 1 2 3
2 Hz: 0 2 0 2
3 Hz: 0 3 2 1

Observe como o ciclo de 3 Hz se inicia em 0, alcança a posição 3, então a posição “6” (com apenas 4 posições, 6 módulo 4 = 2), em seguida posição “9” (9 módulo 4 = 1).

Quando nossos ciclos têm duração de 4 unidades de comprimento, um ciclo que esteja se movendo meio-ciclo a frente (2 unidades) ou estará alinhado (diferença de 0, 4, 8…) ou estará no lado oposto (diferença de 2, 6, 10…).

Ok. Vamos detalhar cada ponto de tempo:

  • Tempo 0: todos os ciclos no seu máximo (total de 4).
  • Tempo 1: 1 Hz e 3 Hz cancelam (posição 1 e 3 são opostas), 0 Hz e 2 Hz cancelam também. O resulto líquido é 0.
  • Tempo 2: 0 Hz e 2 Hz alinhadas na posição 0, enquanto 1 Hz e 3 Hz estão alinhadas na posição 2 (o lado oposto). O total ainda é 0.
  • Tempo 3: 0 Hz e 2 Hz cancelam. 1 Hz e 3 Hz cancelam.
  • Tempo 4 (repete t=0): todos os ciclos alinhados.

O truque é que as velocidades individuais se cancelam (0 Hz vs. 2 Hz, 1 Hz vs. 3 Hz), assim como os pares alinhados (0 Hz + 2 Hz vs. 1 Hz + 3 Hz).

Quando cada ciclo tem magnitude iguais e fase 0 graus, começamos alinhados e cancelamos depois. (Eu não tenho uma boa prova ainda – alguma proposta? –, mas você pode ver isso contra própria. Experimente [1 1][1 1 1][1 1 1 1] e  observe os sinais gerados: (2 0), (3 0 0)(4 0 0 0).

Na minha cabeça, considero esses sinais “picos no tempo”: eles têm uma explosão de atividade num único instante, e são zero nos outros pontos de medição (o nome chique deles é uma função delta).

Aqui está como eu vejo o alinhamento inicial, seguido por um cancelamento líquido:

Interferência de Fourier

Deslocando o Pico no Tempo

Nem tudo acontece no t=0. Podemos mudar nosso pico para (0 4 0 0)?

Parece que os ingredientes do ciclo são parecidos com (4 0 0 0), mas os ciclos devem ser alinhados em t=1 (um segundo depois). Aqui é onde a fase entra.

Imagine uma corrida com 4 corredores. Em uma corrida normal, todo mundo está alinhado na linha inicial, o (4 0 0 0) padrão de tempo. Chato.

E se quisermos que todos terminem ao mesmo tempo? Fácil. Apenas mova as pessoas para frente ou para trás pela distância apropriada. Talvez a vovozinha possa começar a 5 metros da linha de chegada, Usain Bolt a 100 metros antes, e eles possam cruzar a fita segurando as mãos.

Mudanças de fase, o ângulo inicial, são atrasos no universo cíclico. É assim que ajustamos a posição inicial para atrasar 1 segundo em cada ciclo:

  • Um ciclo de 0 Hz não se move, então já está alinhado.
  • Um ciclo de 1 Hz faz uma rotação completa em 4 segundos, então 1 segundo de atraso é um quarto de volta. Uma mudança de fase 90 graus para trás (-90) e ele vai para fase=0, o valor máximo, em t=1.
  • Um ciclo de 2 Hz é duas vezes mais rápido, precisando assim de duas vezes o ângulo para cobrir (-180 ou 180 de mudança de fase – é meia volta no círculo, por qualquer lado).
  • Um ciclo de 3 Hz é 3 vezes mais rápido, precisando de 3 vezes a distância percorrida (-270 ou +90 de deslocamento de fase).

Se os pontos no tempo (4 0 0 0) são feitos de ciclos [1 1 1 1], então os pontos no tempo (0 4 0 0) são feitos de [1 1:-90 1:180 1:90]. (Nota: estou usando “1 Hz”, mas significa “1 ciclo sobre o período de tempo total”).

Uau – estamos resolvendo os ciclos de cabeça!

A visualização da interferência é parecida, exceto pelo alinhamento em t=1.

pico atrasado

Teste a sua intuição: você pode fazer (0 0 4 0), isto é, um atraso de dois segundos? 0 Hz não tem fase. 1 Hz tem 180 graus, 2 Hz tem 360 (o mesmo que 0), e 3 Hz tem 540 (que é igual a 180), por isso é [1 1:180 1 1:180].

Descobrindo a Transformada Completa

O grande insight: nosso sinal é apenas um monte de picos no tempo! Se misturarmos as receitas para cada pico de tempo, conseguiremos a receita para o sinal completo.

A Transformada de Fourier constrói a receita frequência-por-frequência:

  • Separe o sinal completo (a b c d) em “picos de tempo”: (a 0 0 0) (0 b 0 0) (0 0 c 0) (0 0 0 d);
  • Para qualquer frequência (como 2 Hz), a receita experimental é “a/4 + b/4 + c/4 + d/4” (a intensidade de cada pico é dividida entre todas as frequências);
  • Espere! Precisamos compensar cada pico com um atraso na fase (o ângulo para “1 segundo de atraso” depende da frequência);
  • A verdadeira receita para uma frequência = a/4 (sem compensar) + b/4 (1 segundo compensado) + c/4 (2 segundos compensados) + d/4 (3 segundos compensados).

Podemos então fazer um loop através de todas as frequências para obter a transformada completa.

Aqui está a conversão do “português matemático” para matemática completa:

Transformada de Fourier explicada

Algumas observações:

  • N = número de amostras de tempo que temos.
  • n = amostra atual que estamos considerando (0..N-1).
  • x_n = valor do sinal no tempo n.
  • k = frequência atual que estamos considerando (0 Hertz até N-1 Hertz).
  • X_k = quantidade da frequência k no sinal (amplitude e fase, um número complexo).
  • O fator 1/N é geralmente movido para a transformada reversa (indo das frequências de volta para o tempo). Isso é permitido, embora eu prefira 1/N na transformada direta uma vez que isso dá o tamanho real para os picos de tempo. Você pode apelar e até usar 1/\sqrt{N} em ambas as transformadas (indo para frente e para atrás ainda com o fator 1/N).
  • n/N é o percentual de tempo que passou. 2\pi k é nossa velocidade em radianos/segundos. e^{-ix} é nosso movimento para trás num caminho circular. A combinação é o quão longe temos nos movido, para esta velocidade e tempo.
  • As equações brutas para a Transformada de Fourier apenas dizem “adicione números complexos”. Muitas linguagens de programação não podem manusear números complexos diretamente, então você converte tudo para coordenadas retangulares e os adiciona.

Avante

Esse foi meu artigo mais difícil até agora. A Transformada de Fourier tem vários sabores (discreta/contínua/finita/infinita), abrange uma profunda matemática (função delta de Dirac) e é fácil se perder nos detalhes. Eu tenho esbarrado constantemente nos limites do meu conhecimento.

Mas há sempre uma analogia simples lá fora. Eu me recuso a pensar de outra forma.

Seja um shake ou Usail Bolt e a vovozinha cruzando a linha de chegada, pegue uma simples compreensão e refine-a. A analogia é falha, e isto é normal: é uma jangada para ser usada e deixada para trás uma vez que atravessamos o rio.

Eu percebi quão fraco é meu próprio entendimento quando não consegui resolver a transformada (1 0 0 1) na minha cabeça. Para mim, foi como dizer que eu sabia somar, mas, incrivelmente, não tinha certeza do que “1+1+1+1” seria. Por que não? Não devemos ter uma intuição para a mais simples das operações?

Esse desconforto me levou a rodar a internet para construir minha intuição. Além das referências no artigo, eu gostaria de agradecer:

  • Scott Young, pelo pontapé inicial para essa postagem;
  • Shaheen Gandhi, Roger Cheng, and Brit Cruise por discutirem ideias e refinarem a analogia;
  • Steve Lehar pelos grandes exemplos da Tranformada de Forrier em imagens.
  • Charan Langton pelo passo-a-passo detalhado dela;
  • Julius Smith pelo fantástico passo-a-passo da Transformada Discreta de Fourier (o que cobrimos hoje);
  • Bret Victor pela sua técnica em aprendizagem com visualização.

A meta de hoje foi experimentar a Transformada de Fourier. Guardaremos a analise avançada para um próximo momento.

Happy Math.

Apêndice: Projetando Sobre Ciclos

Stuart Riffle tem uma grande interpretação da Transformada de Fourier:

DFT explicada

Imagine girando seu sinal em uma centrífuga e checar a sua tendência. Eu tenho uma correção: devemos girar para trás (o expoente na equação acima deveria ser e^{-i 2\pi} …). Você já sabe o porquê: precisamos de um atraso de fase de modo que os picos se desloquem para o futuro.

Apêndice: Uma outra visualização impressionante

Lucas Vieira, autor do excelente Animaçãos da Wikipedia, foi inspirado a fazer essa animação interativa:

Fourier de Brinquedo – Clique para abrir

Fourier Toy

(Lista detalhada de opções de controle)

A Transformada de Fourier é sobre ciclos somados aos ciclos somados aos ciclos. Tente fazer um “pico de tempo” configurando uma intensidade de 1 para todo componente (aperte Enter depois de inserir cada número). Fato engraçado: com um número suficiente de termos, você pode desenhar qualquer forma, até o Homer Simpson.

Apêndice: Usando o código

Todo o código e os exemplos são código aberto (MIT licensed, faça o que você preferir).


Tradução: Paulo Mercês.

Revisão: Frederico B. Teixeira.

Anúncios

Compreensão Intuitiva da Fórmula de Euler

A identidade de Euler parece desconcertante:

e^{i\pi}=-1

Ela surge de uma fórmula mais geral:

e^{ix}=\text{cos}(x)+i\text{sen}(x)

Wow — estamos relacionando um expoente imaginário ao seno e ao cosseno! E se de alguma forma os ligamos ao pi, ela retorna -1? Será que é possível ter uma visão intuitiva disso?

Não, de acordo com o matemático Benjamin Peirce (1809-1880):

Isso é absolutamente paradoxal; não podemos entender isso, e não sabemos o que isso significa, mas provamos a sua existência e então sabemos que isso deve ser verdade.

Arg, essa atitude faz o meu sangue ferver! Fórmulas não são palavras mágicas para serem memorizadas: nós devemos, devemos, devemos encontrar um insight. Aqui vai o meu:

A fórmula de Euler descreve duas maneiras equivalentes de se mover em um círculo.

Só isso??? Essa equação estonteante é sobre dar voltinhas? Sim — e nós podemos entendê-la construindo algumas analogias:

  • Começando no número 1, imagine uma multiplicação como uma transformação que muda o número: 1 \cdot e^{i\pi};
  • O crescimento exponencial real aumenta um número de forma contínua, por alguma taxa; o crescimento exponencial imaginário roda um número de forma contínua;
  • Crescer por \pi unidades de tempo significa o mesmo que rodar \pi radianos ao redor de um círculo;
  • Portanto, e^{i\pi} significa começar no 1 e rodar \pi (metade do caminho ao redor de um círculo) para alcançar -1.

Essa é a visão de alto nível; vamos mergulhar nos detalhes. A propósito, se alguém tentar impressionar você com e^{i\pi} =-1, pergunte-o sobre o valor de i elevado a i-nésima potência. Se ele não souber lidar com esse problema, é sinal de que a fórmula de Euler ainda é um fórmula mágica para ele.

Entendendo cos(x)+i*sen(x)

O sinal de igual é sobrecarregado de significados. Algumas vezes queremos dizer “faça uma coisa igual à outra” (como x=3). Outras vezes queremos dizer “estas duas coisas descrevem o mesmo conceito” (como em \sqrt{-1}=i).

A fórmula de Euler está no segundo caso: ela exprime duas fórmulas que explicam como se mover em um círculo. Se examinarmos o movimento circular usando trigonometria e viajarmos x radianos:

Atravessando um Círculo

  • \text{cos}(x) é a coordenada x (distância horizontal);
  • \text{sen}(x) é a coordenada y (distância vertical).

A expressão

\text{cos}(x)+i\text{sen}(x)

é uma forma inteligente de comprimir as coordenadas x e y em um único número. A analogia “números complexos são bidimensionais” nos ajuda a interpretar um único número complexo como uma posição sobre um círculo.

Quando definimos x=\pi, estamos viajando \pi unidades ao longo do perímetro de um círculo unitário. Uma vez que a circunferência total é igual a 2\pi, o bom e velho \pi corresponde a meio caminho, nos colocando sobre o ponto -1.

Legal: o lado direito da fórmula de Euler (\text{cos}(x)+i\text{sen}(x)) descreve o movimento circular com números complexos. Agora vamos descobrir como o lado do e na equação realiza esse movimento.

O que é um crescimento imaginário?

Combinar as coordenadas x e y em um número complexo é complicado, mas “manejável”. Mas o que um exponente imaginário significa?

Vamos dar um pequeno passo para trás. Quando eu vejo 3^4, eu penso no seguinte:

  • 3 é o resultado final do crescimento instantâneo (usando e) com uma taxa de \text{ln}(3). Em outras palavras: 3=e^{\text{ln}(3)};
  • 3^4 é o mesmo que crescer até 3, mas então 4 vezes mais. Então 3^4=e^{\text{ln(3)} \cdot 4}=81.

Em vez de ver os números em si mesmos, você pode pensar neles como alguma coisa que será aumentada através do e. Um números real, como 3, fornece uma taxa de crescimento de \text{ln}(3)=1,1, e isso é o que o e vai “coletando” à medida que cresce continuamente.

O crescimento exponencial real é simples: ele continua “empurrando” um número na mesma direção real. 3 \cdot 3 empurra o 3 na mesma direção, fazendo-o 3 vezes maior (9).

Crescimento Imaginário

O crescimento imaginário é diferente: o “retorno” (aquilo que coletamos) fica em uma direção diferente! É como um motor a jato que foi amarrado por ambos os lados – em vez de ir para a frente, ele começa a girar 90 graus.

O legal sobre um empurrão ortogonal (perpendicular) constante é que ele não o acelera ou desacelera – ele só roda você! Multiplicar qualquer número por i não irá mudar sua magnitude, mas somente a direção em que ele aponta.

Intuitivamente, é assim que vejo uma taxa de crescimento imaginária e contínua: “Quando eu cresço, não me empurre para trás ou para frente na direção em que eu estava indo. Em vez disso, me rode.”

Mas não deveríamos girar cada vez mais rápido?

Eu também pensava isso. O crescimento “normal” compõe na direção original, então vamos por 1, 2, 4, 8, 16, multiplicando 2x cada vez, mas permanecendo entre os números reais. Podemos considerar essa sequência como e^{\text{ln}(2)x}, que significa crescer instantaneamente por uma taxa de \text{ln}(2) por x segundos.

E olha só — se nossa taxa de crescimento for duas vezes maior (mais rápida), 2 \text{ln}(2) vs. \text{ln}(2), ela se parecerá com o crescimento pelo dobro do tempo (2x vs. x). A mágica do e nos permite fazer uma troca entre a taxa de crescimento e o tempo; 2 segundos a \text{ln}(2) resulta no mesmo crescimento de 1 segundo a 2 \text{ln}(2).

Agora, imagine que nós tenhamos uma taxa de crescimento puramente imaginária (a \cdot i) que nos roda até alcançarmos i, ou 90 graus para cima. O que acontece se dobrarmos a taxa para 2a \cdot i? Vamos sair do círculo?

Não! Ter uma taxa de 2a \cdot i significa que estamos girando duas vezes mais rápido ou, de forma alternativa, que estamos girando pelo dobro do tempo, mas nos mantemos no círculo. Girar pelo dobro de i significa que estamos defrontando rotações de 180 graus.

Quando entendemos que algumas taxas de crescimento podem nos levar do 1 até o i, aumentar a taxa apenas nos faz girar mais. Nunca iremos escapar do círculo.

Entretanto, se nossa taxa de crescimento é complexa (a+bi vs. a \cdot i), então a parte real irá crescer da forma tradicional, enquanto a parte imaginária irá fazer a rotação. Mas não vamos complicar, a fórmula de Euler, e^{ix}, só trata de crescimentos puramente imaginários, que nos mantêm sobre o círculo (mais a seguir).

Uma conferência rápida de sanidade

Enquanto escrevo, eu tenho que clarear umas questões para mim mesmo:

Por que usar e^{x}? não estamos rodando o número 1?

O e representa o processo de começar pelo 1 e crescer continuamente a 100% da taxa de crescimento por uma unidade de tempo.

Quando escrevemos e, estamos capturando o processo completo em um único número — e representa todos os “vai-e-vem” do crescimento contínuo. Em outras palavras, dizer e^{x} é o mesmo que “comece no número 1 e cresça a 100% por x segundos”.

Mas o que o i como expoente faz?

Para um expoente como 3^4, perguntamos:

  • Qual a taxa de crescimento implícita? Estamos crescendo do 1 para o 3 (a base do exponente);
  • Como mudamos a taxa de crescimento? Escalamos 4 vezes (a potência do expoente).

Podemos converter nosso crescimento no formato do e: nossa taxa instantânea é \text{ln}(3) e nós a aumentamos para \text{ln}(3)\cdot 4. De novo, o “expoente superior” 4 somente escalou nossa taxa de crescimento:

3^4=e^{\text{ln}(3) \cdot 4}=\left(e^{\text{ln}(3)}\right)^4

Quando o expoente superior é igual a i (como em 3^i), nós simplesmente multiplicamos nossa taxa de crescimento implícita por i. Então, em vez de crescer com a taxa \text{ln}(3), crescemos à taxa \text{ln}(3) \cdot i.

\displaystyle 3^i=e^{\text{ln}(3)\cdot i}=\left(e^{\text{ln}(3)}\right)^i

A parte superior do expoente modifica a taxa de crescimento implícita da parte inferior.

Os detalhes fundamentais

Vamos dar uma olhada mais de perto nos detalhes. Lembre-se da definição de e:

\displaystyle e = \lim_{x to \infty} \left(1+\dfrac{100\%}{n}\right)^n

Esse 1/n representa o acumulado em cada n-ésima iteração. Assumimos que o acumulado era real — mas se ele for imaginário?

\displaystyle e = \lim_{x to \infty} \left(1+\dfrac{100\% \cdot i}{n}\right)^n

"Retorno" Imaginário Cumulativo

Agora, o novo acumulado faz acréscimos na direção 90 graus. Surpreendentemente, isso não muda nosso comprimento — esse é um conceito complicado porque ele parece criar um triângulo no qual a hipotenusa deve ser maior. Estamos lidando com um limite, e a distância extra está dentro da margem de erro que nós especificamos. Eu gostaria de enfrentar isso outro dia, mas grave isso: taxas de crescimento perpendiculares irão fazer você rodar. Isso é o coração do seno e cosseno, nos quais a mudança é perpendicular em relação à sua posição atual, e você se move em um círculo.

Aplicamos i unidades de crescimento em incrementos infinitesimais, cada um nos empurrando a 90 graus. Não há uma rotação “cada vez mais rápida”; em vez disso, rastejamos ao redor do perímetro uma distância igual a |i| (magnitude de i).

E puxa — a distância percorrida ao redor de um círculo é um ângulo em radianos! Descobrimos outra forma de descrever movimentos circulares!

Para conseguir movimentos circulares: Mude de posição continuamente, rodando 90 graus (também conhecida como taxa de crescimento imaginária).

Portanto, a fórmula de Euler está dizendo “trace aumentos exponenciais, imaginários circularmente”. E esse caminho é o mesmo que se mover em um círculo usando senos e cossenos no plano imaginário.

Nesse caso, a palavra exponencial é confusa porque viajamos ao redor do círculo a uma taxa constante. Na maioria das discussões, assume-se que o crescimento exponencial tem um efeito acumulativo.

Alguns exemplos

Você não está acreditando em mim, está? Aqui vão alguns exemplos, e como pensá-los intuitivamente.

Exemplo: e^i

Onde está o x? Ah, ele é igual a 1. Intuitivamente, sem pegar a calculadora na gaveta, sabemos que isso significa “viajar 1 radiano ao redor de um círculo unitário”. Na minha cabeça, eu vejo o e tentando crescer 1 a 100% na mesma direção, mas o i continua movendo a bola, forçando o “1” a crescer ao longo da borda de um círculo:

e^i=\text{cos}(1)+i \cdot \text{sen}(1) = 0,5403+0,8415i

Não é o número mais bonito do mundo, mas aí está ele. Lembre-se de colocar sua calculadora no modo radiano quando estiver envolvido nessas contas.

 Exemplo: 3^i

Esse é desafiador, pois não é o nosso formato padrão. Mas lembre-se,

3^i = 1 \cdot 3^i

Queremos um crescimento inicial de 3 vezes no fim do período ou uma taxa instantânea de \text{ln}(3). Mas, o i chega no pedaço e muda aquela taxa de \text{ln}(3) para i \cdot \text{ln}(3):

\displaystyle 3^i = \left(e^{\text{ln}(3)}\right)^i = e^{\text{ln}(3) \cdot i}

Nós pensávamos que a transformação ocorreria a uma taxa regular de \text{ln}(3), um pouco mais rápido do que a crescimento contínuo a 100%, uma vez que e é aproximadamente 2,718. Mas, oh não, o i nos colocou para girar: agora estamos transformando a uma taxa imaginária, o que significa que estamos apenas andando em círculos. Se o i fosse um número normal, como o 4, ele nos teria feito crescer quatro vezes mais rápido. Agora, estamos crescendo a uma velocidade de \text{ln}(3), mas lateralmente.

Devemos esperar um número complexo sobre o círculo unitário – não há nada na taxa de crescimento para aumentar nosso tamanho. Resolvendo a equação:

3^i=e^{\text{ln}(3) \cdot i} = \text{cos}[\text{ln}(3)]+i \cdot \text{sen}[\text{ln}(3)]  = 0,4548 + 0,8906i

Então, em vez de terminarmos “1” unidade ao redor do círculo (como em e^i), terminamos \text{ln}(3) ao redor.

Exemplo: i^i

Há alguns meses atrás, esse problema teria me feito chorar. Hoje não! Vamos quebrar as transformações:

i^i=1 \cdot i^i

Começamos com 1 e queremos mudá-lo. Assim como no exemplo de 3^i, a taxa de crescimento instantânea representada por i como uma base?

Hum. Normalmente nós iríamos fazer \text{ln}(x) para obter a taxa de crescimento necessária par alcançar x no final de uma unidade de tempo. Mas para uma taxa imaginária? Precisamos improvisar alguma coisa.

Para começar com 1 e crescer até i, precisamos começar a rodar desde o princípio. Quão rápido? Bem, precisamos rodar 90 graus (\pi/2 radianos) em uma unidade de tempo. Então nossa taxa é i \cdot \pi/2. Lembre-se de que nossa taxa deve ser imaginária, pois estamos rodando, não crescendo. Se utilizássemos simplesmente \pi/2, obteríamos simplesmente 1,57, resultando em um aumento real.

Isto deve fazer sentido: para transformador 1 em i após uma unidade de tempo, devemos rodar \pi/2 radianos (90 graus) nesse período. Então, podemos substituir i por e^{i \frac{\pi}{2}}:

\displaystyle i=e^{i \cdot \frac{\pi}{2}}

Fiu… isso descreve i como a base. E o que dizer sobre o expoente?

Bem, o outro i nos diz para mudar nossa taxa – sim, a taxa que gastamos tanto tempo para entender! Então, em vez de rodar a uma velocidade de  i \pi/2, que é o que nossa base i significa, transformamos a taxa para:

\displaystyle \dfrac{\pi}{2}i \cdot i =  \dfrac{\pi}{2} \cdot -1 = -\dfrac{\pi}{2}

Os is se cancelam e fazem a taxa de crescimento se tornar real novamente! Rodamos nossa taxa, colocando-a no lado dos números negativos. E um crescimento negativo significa que estamos diminuindo – esperamos que i^i torne os números menores. E ele torna:

\displaystyle i^i=e^{- \frac{\pi}{2}} \approx 0,2

Tãdã! (Procure “i^i” no Google para usar sua Calculadora).

Respire um pouco: você pode perceber intuitivamente como bases e exponentes imaginários devem se comportar. Uau.

E, como um bônus, você aprendeu como usar \text{ln}(i) para fazer a função e^x se transformar em i, fazendo e rodar por \pi/2 radianos:

\displaystyle \text{ln}(i)=i \cdot \dfrac{\pi}{2}

Exemplo: (i^i)^i

Um exponente imaginário duplo? Se você quer realmente insistir…

Primeiro, sabemos a taxa de crescimento que teremos dentro dos parênteses:

\displaystyle i^i = (e^{\frac{\pi}{2}i})^i = e^{-\frac{\pi}{2}}

Obtemos uma taxa de crescimento negativo (encolhimento) de -\pi/2. E agora modificamos a taxa de novo por i:

\displaystyle (i^i)^i = (e^{-\frac{\pi}{2}})^i = e^{-\frac{\pi}{2}i}

E então temos uma rotação negativa! Iremos rodar ao redor do círculo a uma taxa de -\pi/2 por unidade de tempo. Quão longe iremos? Bem, existe uma unidade de tempo implícita igual a “1” no topo da cadeia deste expoente; o padrão impõe ir por uma unidade de tempo (como em e=e^1). Uma unidade de tempo nos dá uma rotação de -\pi/2 radianos (-90 graus) ou -i!

(i^i)^i=-i

E para quebrar tudo, se elevamos ao quadrado esse resultado maluco:

[(i^i)^i]^2=-1

O que equivale a dobrar a rotação: 2 é um número natural, então ele simplesmente dobra nossa taxa de rotação para -180 graus em uma unidade de tempo. Ou você pode ver isso como duas rotações de -90 graus seguidas.

À primeira vista, todos esses expoentes são muito estranhos. Mas com as nossas analogias, conseguimos dar um jeito.

Crescimento complexo

Podemos ter crescimentos reais e imaginários ao mesmo tempo: a parte real escala o número, a parte imaginária roda:

Crescimento Real e Imaginário

Uma taxa de crescimento complexa como a+bi é um mix de crescimento real e imaginário. A parte real a significa “crescer a 100% por a segundos” e a parte imaginária b significa “rodar por b segundos”. Lembre-se, rotações não tem o “benefício” da acumulação uma vez que estamos empurrando os números em uma direção diferente – em outras palavras, a rotação adicional linearmente.

Com isso em mente, podemos representar qualquer ponto sobre um círculo utilizando a+bi! O raio é e^a e o ângulo é determinado por e^{bi}. É como colocar um número no expand-o-tron por dois ciclos: um para crescer até o tamanho certo (a segundos) e outro para rodar até o ângulo certo (b segundos). Ou podemos rodar primeiro e depois crescer.

Suponha que nós queiramos saber a quantidade necessária para crescer até 6+8i. É o mesmo que perguntar pelo logaritmo natural de um número imaginário: como crescemos o e para obtermos 6+8i?

  • Raio: Qual grande é o círculo que precisamos? Bem, a magnitude é \sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10. O que significa que precisamos crescer para text{ln}(10) = 2,3 segundos para alcançar esse valor.
  • Rotação: Qual o ângulo deste ponto? Podemos usar o arcotangente: \text{arctan}(8/6)=0,93 radianos ou 53 graus.
  • Combine o resultado: \text{ln}(6+8i ) = 2,3+0,93i.

Isto é, podemos alcançar o ponto aleatório 6+8i se usarmos e^{2,3+0,93i}.

Por que isso é útil?

A fórmula de Euler nos dá outro meio de descrever o movimento sobre um círculo. Mas já podíamos fazer isso usando senos e cossenos – o que há então de tão especial?

Dois Caminhos, Mesmo Resultado

Tudo depende da perspectiva. Senos e cossenos descrevem o movimento em termos de um grid, apontando coordenadas horizontais e verticais.

A fórmula de Euler usa coordenadas polares – qual sua distância e ângulo? Novamente, há duas formas [ndt: existem mais, claro] de descrever um movimento:

  • Coordenadas retangulares: vá 3 unidades para o leste e 4 para o norte;
  • Coordenadas polares: vá 5 unidades pelo ângulo 53,15 graus.

Dependendo do problema, ou as coordenadas retangulares ou as polares serão mais úteis. A fórmula de Euler nos permite converter entre as duas a fim de utilizarmos a melhor ferramenta para nosso problema. Além disso, porque e^{ix} pode ser convertido em seno e cosseno, podemos reescrever fórmulas em trigonometria como variações do e, o que vem a calhar em várias situações (não é necessário memorizar \text{sen}(a+b) porque você pode derivar a fórmula – mais sobre isso em outro artigo). E é bonito que qualquer número, real ou complexo, seja uma variação do e.

Mas foquemos no que é realmente importante: o resultado principal é a tomada de consciência de que equações aparentemente desorientadoras podem se tornar intuitivas com as analogias certas. Não deixe que equações bonitas como a fórmula de Euler fique no nível das palavras mágicas – construa suas analogias que você verá os insights dentro da equação.

Referências

Entendendo por que a Multiplicação Complexa Funciona

Ver os números imaginários como rotações foi um dos meus momentos Aha! favoritos:

Rodar de 1 para -1

 

O i, a raíz quadrada de -1, é um número em uma dimensão diferente! Quando cai a ficha, nós podemos usar a multiplicação para “combinar” rotações de dois números complexos:

Aplicando os Números Complexos

 

Wow, aquilo foi um baque na minha cabeça: somar ângulos sem senos ou cossenos. Infelizmente, eu não tinha uma compreensão intuitiva do por que aquilo funcionava. Vamos consertar isso!

A Explicação Chata: Como?

Aqui está a explicação usual do por que a multiplicação complexa soma os ângulos. Primeiro, escreva os números complexos em coordenadas polares (raio e ângulo):

r1 [\text{cos}(a) + i \text{sen}(a)] \cdot r2 [\text{cos}(b) + i \text{sen}(b)]

Agora, tome o produto, agrupando as partes reais e imaginárias:

ql_c3464f0a514631fce7e5840b2c41d02c_l3

Por fim, note como essa forma coincide com as fórmulas de adição de ângulos de senos e cossenos:

\text{cos}(a+b) = \text{cos}(a) \cdot \text{cos}(b) - \text{sen}(a) \cdot \text{sen}(b)

\text{sen}(a+b) = \text{cos}(a) \cdot \text{sen}(b) + \text{cos}(b) \cdot \text{sen}(a)

E aqui você tem a explicação! O que foi? Você não pensa intuitivamente em função da expansão de senos e cossenos? Pior para você, a matemática bate!

Você ainda está aí? Bom. O problema foi perder a “magia”: é como dizer que dois poemas são similares porque nós analisamos a distribuição de letras. Preciso, mas insatisfatório!

Como todo mundo, eu gosto de senos e cossenos, mas os detalhes devem vir após a ficha cair sobre as relações matemáticas.

A Explicação Divertida: Por quê!

De novo, qual é o nosso objetivo? Ah, sim – ver por que podemos multiplicar dois números complexos somando os ângulos.

Primeiro, vamos esclarecer o que a multiplicação faz:

Multiplicação Convencional e Complexa

 

  • A multiplicação convencional (“vezes 2”) “escala” por um número (torna-o maior ou menor);
  • A multiplicação imaginária (“vezes i“) “gira” o número 90° graus.

E o que acontece se combinarmos ambos os efeitos em um número complexo? Multiplicar por (2+i) significa “dobrar seu número – ah, e somar uma rotação perpendicular”.

Exemplo rápido: 4 \cdot (3+i) = 4 \cdot 3 + 4 \cdot i = 12 + 4i.

Isso é, pegue seu número original (4), faça-o 3 vezes maior (4 \cdot 3) e então adicione o efeito da rotação (+4i). De novo, se desejássemos somente a rotação, multiplicaríamos por i. Se desejássemos somente escalar o número, multiplicaríamos pelo bom e velho 3. Um número complexo (a+bi) tem ambos os efeitos.

Visualizando a Multiplicação Complexa

Essa foi fácil – um número real (4) vezes um complexo (3+i). O que dizer de dois números complexos (“triângulos”), como (3+4i) \cdot (2+3i)?

Multiplicação Complexa

Agora nós estamos conversando! Eu vejo isso como “crie uma versão escalada do nosso triângulo original (vezes 2) e some um triângulo escalado/rotacionado (vezes 3i). O ponto final é o novo número complexo.

Mas… eu amo explicações alternativas. Aqui está outra:

FOIL Breakdown

 

Em vez de agrupar as multiplicações por triângulos, analisamos cada parte do FOIL (first, outside, inside, last) [primeiro, fora, dentro, último]. Adicionar cada componente nos leva por um caminho que termina no mesmo ponto!

Mas, e os ângulos?

Ah, sim, os ângulos. Parece que estamos somando os ângulos, mas podemos ter certeza disso?

Triângulos Similares, Mesmos Ângulos

Capitão Geometria a caminho! Oh, sentimos sua falta desde a oitava série. O resultado (linha azul tracejada) está no mesmo ângulo da inclinação de um triângulo sobre o outro?

Considerando os triângulos originais, empilhamos o triângulo (3+4i) sobre  o outro (2+3i) e “giramos” para obter o ângulo combinado [veja o desenho menor, à esquerda, na figura acima].

No caso da multiplicação, começamos com um triângulo escalado (2x) e o giramos sobre outro triângulo escalado (vezes 3i) [desenho à direita]. Embora ele seja maior, triângulos similares têm os mesmos ângulos – eles só são maiores (mas não pergunte sobre o seu tamanho, ok?).

Nós escalamos o triângulo original (sem mudança no ângulo) e “inclinamos sobre” outro triângulo escalado (sem mudança no ângulo), então o resultado é o mesmo! Eu gosto de ver essas coisas se dando – escalamos, rodamos e bum – estamos sobre o ângulo combinado. O assunto não é “números imaginários”, mas sim uma forma de combinar triângulos sem trigonometria!

Efeitos Colaterais Podem Incluir Mudanças de Tamanho

Note como estamos somando cópias maiores do nosso triângulo original. Qual é a mudança no tamanho, se compararmos com nosso triângulo azul original?

Bem, vamos chamar nosso comprimento original de “x”. Independentemente do que isso seja, vamos terminar obtendo um novo triângulo sobreposto, com tamanho (2x + 3x) (a+bi em geral). E do teoremos de Pitágoras, a distância “real” é:

\sqrt{(ax)^2+(bx)^2}=\sqrt{x^2(a^2+b^2)}=x \cdot \sqrt{a^2+b^2}

Isso é, pegamos o nosso comprimento inicial (x) e escalamos pelo tamanho do novo triângulo (tamanho de a+bi).

Se o novo triângulo tem tamanho 1 (a^2+b^2=1), então a distância não irá mudar!

Alguns Pensamentos

Eu não odeio provas rigorosas [de teoremas] – eu odeio ter que fingir que elas são úteis quando não são. Provas têm dois objetivos:

  • Mostrar que um resultado é verdadeiro. Isso serve para matemáticos apresentarem resultados – estudantes raramente questionam a validade dos fatos em uma aula de Matemática.
  • Mostram por que um resultado é verdadeiro.

Insights reais, satisfatórios, vêm de raciocínios com analogias e exemplos – não da leitura de provas sistemáticas e minimalistas (principalmente aquelas que aparecem com fórmulas de adições de senos e cossenos!).

Poyla disse bem: “quando você se satisfaz com a verdade de um teorema, você começa a prová-lo”.

Happy math.

Aritmética Intuitiva com Números Complexos

Os números imaginários têm uma explicação intuitiva: eles “rodam” os números, assim como os negativos criam uma “imagem espelhada” de um número. Essa intuição torna a aritmética com números complexos fácil de entender e é um excelente meio de conferir seus resultados. Aqui está nossa tabela de dicas:

tabela-operacoes-complexas

Este post irá caminhar através de significados intuitivos.

Variáveis Complexas

Na álgebra tradicional, nós geralmente dizemos x=3 e está tudo certinho — existe algum número x cujo valor é 3. Com números complexos, existe um empecilho: são duas dimensões para considerar. Quando escrevemos

z=3+4i

a+bi

estamos dizendo que existe um número z com duas partes: 3 (a parte real) e 4i (parte imaginária). É um pouco estranho que “um” número possa ter duas partes, mas já estamos lidando com isso há algum tempo. Nós geralmente escrevemos:

y=3\dfrac{4}{10}=3+0,4

e não nos incomoda que um único número y tenha tanto uma parte inteira (3) quanto uma fracionada (0,4 ou 4/10). y é uma combinação de dois elementos. Os números complexos são similares: eles têm suas partes reais e imaginárias “contidas” em uma única variável (as abreviações são geralmente \text{Re} e \text{Im}).

Infelizmente, não temos uma notação legal como 3,4 para “fundir” as partes em um único número. Eu tinha uma ideia para escrever a parte imaginária verticalmente, mas ela não era muito popular. Então vamos nos ater ao formato a+bi.

Medindo o Tamanho

Uma vez que os números complexos usam dois eixos independentes, encontramos seu tamanho (magnitude) usando o teorema de Pitágoras:

Magnitude de a+bi

Então, um número z=3+4i terá magnitude 5. O atalho para “magnitude de z” é este: \lvert z \rvert.

Vê como ele se parece com o sinal do valor absoluto? Bem, de certa forma, é a mesma coisa. A magnitude “mede a distância” de um número complexo até o zero, assim como o valor absoluto “mede a distância” de um número negativo até o zero.

Adições e Substrações Complexas

Já vimos que a adição usual pode ser pensada como um “deslocamento” por certo número. A adição com números complexos é parecida, mas podemos fazer o deslocamento em duas dimensões (real e imaginária). Por exemplo:

adicao-complexa

Somar (3+4i)(-1+1i) dá (2+5i).

Novamente, esta é uma interpretação visual de como “componentes independentes” são combinadas: seguimos as partes reais e imaginárias separadamente.

A subtração é o reverso da adição — é um deslocamento na direção oposta. Subtrair (1+i) é o mesmo que somar (-1) \times (1+i) ou somar (-1-i).

Multiplicação Complexa

Aqui é onde a Matemática fica interessante. Quando multiplicamos dois números complexos xy para obter z:

  • Some os ângulos: \text{angulo}(z) = \text{angulo}(x) + \text{angulo}(y);
  • Multiplique as magnitudes: \lvert z \rvert = \lvert x \rvert \times \lvert y \rvert.

Isso é, o ângulo de z é a soma dos ângulos de xy e a magnitude de z é o produto das magnitudes. Acredite ou não, a mágica dos números complexos faz a Matemática funcionar!

Multiplicar pela magnitude (tamanho) faz sentido — estamos acostumados ao que acontece em uma multiplicação usual (3 \times 4 significa multiplicar 3 pelo tamanho de 4). A razão da adição dos ângulos funcionar é mais detalhada, e vamos deixá-la para outra hora. (Curioso(a)? Encontre as fórmulas de adição de senos e cossenos e compare-as com o resultado da multiplicação de (a+bi) \times (c+di)).

Hora de um exemplo: vamos multiplicar z=3+4i por ele mesmo. Antes de fazer todas as contas, sabemos algumas coisas:

  • A magnitude resultante será 25z tem magnitude 5, então \lvert z \rvert \times \lvert z \rvert = 25;
  • O ângulo resultante será maior do que 90 graus. 3+4i é maior do que 45 graus (uma vez que 3+3i resultaria em 45 graus), então o dobro do ângulo será maior do que 90.

Com nossas previsões no papel, podemos fazer um pouco da matemática:

(3+4i) \times (3+4i) = 9 + 16i^2 + 24 i = -7 + 24i

Hora de conferir nossos resultados:

  • Magnitude: \sqrt{(-7)^2 + (24)^2} = \sqrt{625}=25, que confere com nossa conjectura;
  • Ângulo: uma vez que -7 é negativo e 24i é positivo, sabemos que estamos “na parte de trás do eixo” e “para cima”, o que significa que ultrapassamos a marca de 90 graus (“eixo vertical”). Entrando nas complicações, usamos a calculadora para \text{arctan}(24/-7)=106,26 graus[1] (tendo em mente que estamos no quadrante 2). Esse resultado também bate com a previsão inicial.

Legal. Se podemos sempre fazer todos os cálculos, a intuição sobre rotações e escalas nos ajudam a conferir o resultado. Se o ângulo resultante fosse menor do que 90 graus (“para frente  para cima”, por exemplo) ou se o resultado não fosse 25, saberíamos que algo deu errado nas contas.

Divisão Complexa

A divisão é o oposto da multiplicação, assim como a subtração é o oposto da adição. Quando dividimos números complexos (x dividido por y):

  • Subtraia os ângulos: \text{angulo}(z) = \text{angulo}(x) - \text{angulo}(y);
  • Divida as magnitudes: \lvert z \rvert = \lvert x \rvert / \lvert y \rvert.

Soa bem. Agora vamos a um exemplo:

\dfrac{3+4i}{1+i}

Hum… por onde começar? Como nós fazemos realmente a divisão? Divisões algébricas básicas já me dão arrepios, imagina só com essa esquisitice do i. (Senhor, senhor! Você sabia que 1/i=-i? Basta multiplicar ambos os lados por i e veja você mesmo o que acontece! Eek.). Por sorte, existe um atalho!

Introduzindo os Números Complexos

Nosso primeiro objetivo é subtrair os ângulos. Como fazemos isso? Multiplicando pelo ângulo oposto! Isso irá “somar” um ângulo negativo, que é o equivalente da subtração do ângulo original.

Complexo Conjugado

Em vez de z=a+bi, pense sobre um número z^*=a-bi, chamado “complexo conjugado”. Ele tem a mesma parte real, mas a parte imaginária é “espelhada”. O conjugado ou “reflexo imaginário” tem a mesma magnitude, mas o ângulo oposto!

Então, multiplicar por a-bi é o mesmo que subtrair o ângulo. Legal.

multiplicacao-conjugada

Complexos conjugados são indicados por um asterisco (z^*) ou por uma barra sobre a variável — matemáticos adoram discutir sobre essas convenções para as notações. De todo modo, o conjugado é um número complexo com parte imaginária “girada”.

Note que a parte imaginária não precisa ser necessariamente negativa. Se z=3-4i, então z^*=3+4i.

Multiplicando pelo Conjugado

O que acontece quando você multiplica pelo conjugado? O que é z vezes z^*? Sem pensar, pense sobre isto:

z \cdot z^* = 1 \cdot z \cdot z^*

Pegamos o número 1 (real), adicionamos o ângulo(z) e depois o ângulo(z^*). Mas este último ângulo é negativo — temos uma subtração! Então nosso resultado final deve ser um número real, uma vez que cancelamos os ângulos. O número deve ser \lvert z \rvert^2, já que escalamos duas vezes.

Agora vamos a um exemplo:

(3+4i) \times (3-4i) = 9 - 16i^2 = 25

Obtivemos um número real, como esperado! Os fãs da Matemática podem tentar a álgebra também:

(a+bi) \times (a-bi) = a^2+abi-abi+b^2=a^2+b^2

Tãdã! O resultado não tem parte imaginária e a magnitude é elevada ao quadrado. Entender os complexos conjugados como uma “rotação negativa” nos permite prever esses resultados de uma forma diferente.

Escalando seus Números

Quando multiplicamos pelo conjugado z^*, escalamos pela magnitude \lvert z^* \rvert. Para reverter esse efeito, podemos dividir por \lvert z \rvert e para realmente encolher por \lvert z \rvert, temos que dividir novamente. Em outras palavras, para obter o número original após uma multiplicação pelo conjugado, temos que dividir o resultado por \lvert z \rvert \times \lvert z \rvert.

Mostre-me a Divisão!

Eu venho evitando a divisão e aqui está a mágica. Se queremos resolver

\dfrac{3+4i}{1+i}

Podemos usar uma abordagem intuitiva:

  • Rotacionando pelo ângulo oposto: multiplicar por (1-i) em vezes de (1+i);
  • Dividir pela magnitude ao quadrado: dividir por \lvert \sqrt{2} \rvert^2=2.

A resposta, utilizando essa abordagem, é:

\dfrac{3+4i}{1+i}=(3+4i) \cdot (1-i) \cdot \dfrac{1}{2}=(3-4i^2+4i-3i) \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{2}i

O método tradicional “arroz com feijão” envolve multiplicar em cima e embaixo pelo complexo conjugado:

\dfrac{3+4i}{1+i}=\dfrac{3+4i}{1+i}\cdot \dfrac{1-i}{1-i}= \dfrac{3-4i^2-4i-3i}{1-i^2}= \dfrac{7+i}{2}

Somos ensinados tradicionalmente a “apenas multiplicar ambos os lados pelo complexo conjugado” sem questionar o que a divisão complexa realmente significa. Mas não hoje.

Nós sabemos o que está acontecendo: a divisão é igual a subtrair um ângulo e encolher a magnitude. Ao multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado, subtraímos pelo ângulo de (i-i), o que torna o denominador um número real (não é uma coincidência, uma vez que usamos exatamente o ângulo oposto). Escalamos tanto o numerador quanto o denominador da mesma quantidade, então os efeitos se cancelam. O resultado é tornar a divisão em uma multiplicação no numerador.

Ambas as abordagens funcionam (normalmente você aprende a segunda na escola), mas é usar as duas para conferir os resultados.

Mais Alguns Truques Matemáticos

Agora que nós entendemos o conjugado, existem algumas propriedades que merecem nossa atenção:

(x+y)^*=x^*+y^*

(x \cdot y)^*=x^* \cdot y^*

A primeira deve fazer mais sentido. Somar dois números e “refleti-los” (“conjugá-los”) é o mesmo que somar as suas reflexões. Outro modo de pensar: deslocar dois números e então tomar os seus opostos é o mesmo que deslocar ambos no sentido oposto.

A segunda propriedade é mais complicada. Claro, a álgebra deve funcionar, mas qual é a explicação intuitiva?

O resultado (x \cdot y)^* significa:

  • Multiplique as magnitudes: \lvert x \rvert \times \lvert y \rvert;
  • Some os ângulos e tome o conjugado (oposto): \text{angulo}(x)+\text{angulo}(y) se torna -\text{angulo}(x)+ -\text{angulo}(y)

E x^* \cdot y^* significa:

  • Multiplique as magnitudes: \lvert x \rvert \times \lvert y \rvert (o mesmo de antes);
  • Some os ângulos conjugados: \text{angulo}(x)+\text{angulo}(y)= -\text{angulo}(x)+-\text{angulo}(y).

Aha! Obtivemos os mesmos ângulos e magnitudes em ambos os casos, e nós não tivemos que passar para nenhuma explicação algébrica tradicional. A Álgebra é muito boa, mas não dá sempre a melhor explicação.

Um Exemplo Rápido

O conjugado é um modo de “desfazer” a rotação. Pense sobre isso da seguinte maneira:

  • Eu deposito R$ 3,00, R$ 10,00, R$ 15,75 e R$ 23,50 na minha conta. Qual transação irá cancelá-las? Para encontrar o oposto: some todos os depósitos e multiplique por -1.
  • Eu rotaciono uma linha fazendo várias multiplicações: (3+4i), (1+i) e (2+10i). Qual rotação irá cancelá-las? Para encontrar o oposto: multiplique todos os números complexos e então tire o conjugado do resultado.

Veja o conjugado z^* como um meio de “cancelar” os efeitos de rotação de z, assim como um número negativo “cancela” os efeitos da adição. Um alerta: com conjugados, você precisa dividir por \lvert z \rvert \times \lvert z \rvert para remover os efeitos de uma mudança de escala.

Pensamentos Finais

A matemática aqui não é nova, mas eu nunca havia me tocado do porquê os conjugados complexos funcionarem como eles funcionam. Por que a+bi e não -a+bi. Bem, os complexos conjugados não são uma escolha aleatória, mas uma imagem refletida de uma perspectiva imaginária, com o ângulo oposto exato.

Ver os números imaginárias como rotações nos são uma nova mentalidade (mindset) para enfrentar os problemas matemáticos; as fórmulas “arroz com feijão” pode ter um sentido intuitivo, mesmo para tópicos estranhos como números complexos. Happy math.


[1] Na calculadora, o resultado será ~-73,74°. Isso porque a calculadora só acerta o ângulo para primeiro quadrante (x>0, y>0). Então é preciso acrescentar 180° ao resultado (-73,74°+180°=106,26°).

Guia Intuitivo para os Ângulos, Graus e Radianos

É um fato óbvio que os círculos devem ter 360 graus. Certo?

Errado. A maioria de nós não tem a mínima ideia do por que há 360 graus em um círculo. Memorizamos um número mágico como o “tamanho de um círculo” e assim vamos preparados para uma baita confusão quando estudamos Física ou Matemática avançada, com seus “radianos”.

“Radianos tornam a Matemática mais fácil!”, dizem os experts, sem dar um porquê simples o suficiente (discussões envolvendo a série de Taylor não são simples). Hoje iremos revelar o que os radianos realmente são e entender intuitivamente por que eles tornam a Matemática mais fácil.

De onde vêm os Ângulos?

Antes dos números e da linguagem, nós tínhamos as estrelas. As civilizações antigas usavam a Astronomia para marcar as estações, predizer o futuro e aplacar os deuses (na hora dos sacrifícios humanos, era melhor eles não se atrasarem).

Qual a relevância disso para os ângulos? Bem, meu chapa, me explica isto: não é estranho que um círculo tenha 360 graus e um ano tenha 365 dias? E não é estranho que as constelações circulem o céu durante o curso de um ano?

Ao contrário de um legítimo homem do mar, eu duvido que você, pirata de água doce, consiga determinar as estações do ano só de observar o céu noturno: Aqui está a Ursa Maior como vista da cidade Nova York em 2008 (tente qualquer cidade):

Rotação das constelações

As constelações fazem um círculo todos os dias (vídeo). Se você olhar na mesma hora todos os dias (meia noite), elas também farão um círculo ao longo do ano. Aqui está a teoria resumida de como os graus surgiram:

  • Os homens notaram que as constelações se movem em um círculo completo a cada ano;
  • Todos os dia, elas estavam deslocadas de uma pequena quantidade (“um grau”);
  • Uma vez que um ano tem aproximadamente 360 dias, um círculo tinha 360 graus.

Mas, mas… por que não 365 graus em um círculo?

Dê uma folga para os caras: eles tinham relógios solares e não sabiam que um ano deveria ter convenientes 365,242199 graus, como você já sabe.

360 é perto o suficiente de 365 para as coisas funcionarem bem. 360 casa muito bem com o sistema numérico de base 60 dos babilônios e se divide bem (por 2, 3, 4, 6, 10, 12, 15, 30, 45, 90… deu para pegar a ideia).

Basear a Matemática no Sol parece perfeitamente Razoável

A Terra deu sorte: ~360 é um excelente número de dias para um ano. Mas ele parece bem arbitrário: em Marte teríamos aproximadamente 680 graus em um círculo, para o ano marciano mais longo. E em partes da Europa eram usados gradianos, com os quais você divide um círculo em 400 partes.

Muitas explicações terminam aqui dizendo: “Bem, o grau é uma arbitrariedade, mas nós precisamos escolher algum número”. Aqui não: veremos que toda a premissa do grau funciona de trás para frente.

Os Radianos definem, os Graus complicam

Um grau é uma quantidade que me faz, como observador, inclinar minha cabeça para ver você, o movente (aquele que se move). Ele é um pouquinho egocêntrico, você não acha?

Suponha que você tenha visto um amigo correndo em um trajeto longo:

“E aí, Gui, até onde você foi?”

“Bem, eu estava em um bom ritmo, acho que corri uns 3 ou 4 quilômetros.”

“Fica quieto. Até onde eu virei minha cabeça para te ver correndo?”

“O quê?”

“Vou usar só palavras curtas pra ver se você me entende. Estou no centro da pista. Você correu ao redor. Até… onde… eu… virei… minha… cabeça?”

“Você é idiota?”

Egoísta, certo? É assim que nós usamos a Matemática! Escrevemos equações em termos de “Oi, até onde eu precisei virar minha cabeça para ver aquele planeta/pêndulo/roda se mover?”. Eu aposto que você nunca tinha se preocupado com os sentimentos, esperanças e sonhos do pobre pêndulo.

Você acha que as equações da Física precisam ser mais simples para o movente ou para o observador?

Radianos: a Escolha não Egoísta

Muito da Física (e da vida) envolve deixar o seu quadro de referência de lado e ver as coisas pelo ponto de vista de outrem. Em vez de ficar se perguntando até onde viramos nossas cabeças, considere até onde a outra pessoa se moveu.

Graus vs. Radianos

Os graus medem os ângulos a partir do quanto viramos nossas cabeças. Os radianos medem os ângulos a partir da distância percorrida.

Mas distâncias absolutas não são tão úteis, uma vez que ir por 10 km representa diferentes números de voltas dependendo do trajeto. Então dividimos a distância pelo raio para obter um ângulo normalizado:

\text{radiano}=\dfrac{\text{distancia percorrida}}{\text{raio}}

Você geralmente vai ver isso como:

\theta=\dfrac{s}{r}

ou ângulo em radianos (\theta) é o comprimento de arco (s) dividido pelo raio (r).

Um círculo tem 360 graus ou 2\pi radianos — dar a volta completa é igual a 2\pi r / r. Então um radiano é aproximadamente 360^{\circ}/(2\pi) ou 57,3 graus.

Agora, não seja como eu, que queria memorizar essa porcaria pensando: “Ótimo, outra unidade… 57,3 graus é bem esquisito”. Porque só é esquisito quando você está usando o seu ponto de vista!

Mover 1 radiano (unidade) é uma distância perfeitamente normal. Colocando de outra forma, nossa ideia de “um ângulo de 90 graus exatos” significa que o movente passou por \pi/2 nada exatos. Pense sobre isso — “Ô, Gui, você pode correr 90 graus para mim, por favor? Quanto é isso? Ah, sim, do seu ponto de vista serão \pi/2 metros”. A estranheza vai-se embora.

Os radianos são a empatia em forma matemática — uma mudança desde a sua cabeça virando até a perspectiva do movente.

O que um Nome pode dizer?

Os radianos são uma contagem de distância em termos de “unidades do raio”; eu penso em “radiano” como uma abreviação para esse conceito.

Teoricamente falando, os radianos são como o número 1,5 ou o 73, que não são acompanhados por nenhuma unidade (no cálculo “radianos = distância percorrida / raio”, temos comprimento dividido por comprimento, então as unidades se cancelam).

Mas na prática, não somos robôs matemáticos; pensar em radianos como uma “distância” percorrida sobre um círculo unitário nos ajuda a compreender melhor o que se passa.

Usando os Radianos

Eu ainda estou me acostumando a pensar em radianos. Mas encontramos o conceito de “distância do movente” com bastante frequência:

  • Usamos “rotações por minuto” e não “graus por minuto” quando estamos medindo certas velocidades rotacionais. Isso é uma mudança que vai no sentido do ponto de referência do movente (“quantas voltas já foram?”) e contra uma medida arbitrária em graus;
  • Quando um satélite orbita ao redor da Terra, entendemos sua velocidade em “quilômetros por hora”, não “graus por horas”. Agora divida a distância até o satélite e você obtém a velocidade orbital em radianos por hora;
  • O seno, essa função incrível, é definido em termos de radianos como

\text{sen}(x)=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots

Esta fórmula só funciona quando x está em radianos! Por quê? Bem, o seno está fundamentalmente relacionado à distância percorrida, não ao “virar de cabeça”. Mas deixaremos essa discussão para outro dia.

Exemplo com Radianos 1: Rodas do Ônibus

Vamos tentar um exemplo real: você está dirigindo um ônibus com rodas de 2 metros de diâmetro (é um monster truck bus). Eu vou dizer quão rápido as rodas estão rodando e você dirá quão rápido o ônibus está se movendo. Pronto?

“As rodas estão rodando a 2000 graus por segundo”. Você pensaria:

Ok, as rodas estão rodando a 2000 graus por segundo. Isso significa que ela está rodando a 2000/360 ou 5 e 5/9 rotações por segundo. Circunferência = 2 * pi * r, então ele está movendo a… hum… 2 * 3,14 * 5 e 5/9… onde está minha calculadora

“As rodas estão rodando a 6 radianos por segundo”. Você pensaria:

  • Radianos são distância ao longo de um círculo unitário — nós apenas escalamos pelo raio real para ver quão longe nós já fomos. 6 * 2 = 12 metros por segundo. Próxima questão.

Wow! Sem fórmulas malucas, sem variações do pi por aí — só multiplique para converter velocidades rotacionais em velocidades lineares. Tudo porque os radianos falam em termos do movente.

O reverso é fácil também. Suponha que você esteja dirigindo um carrão em uma auto-estrada americana. Você está guiando a 90 pés por segundo (22 m/s). O carro tem rodas de aro 24 polegadas (raio de 1 pé = 30,48 cm). Quão rápido as rodas estão girando?

Bem, 90 pés por segundo / 1 pé de raio = 90 radianos por segundo.

Essa foi fácil. Eu suspeito que é por isso que os rappers americanos criam rimas com aro 24”.

Exemplo com Radianos 2: sen(x)

Hora para um exemplo mais robusto. O Cálculo envolve muitas coisas, e uma delas é o que acontece quando os números tornam-se muito grandes ou muito pequenos.

Escolha um número de graus (x) e coloque o \text{sen}(x) na sua calculadora:

x vs. sen(x)

Quando você diminui x, para 0,01, por exemplo, \text{sen}(x) torna-se igualmente pequeno. E a divisão \text{sen}(x)/x parece ser igual a aproximadamente 0,017 — o que isso significa? Ainda mais estranho, o que significa multiplicar ou dividir por um grau? Podemos ter graus quadrados ou cúbicos?

Radianos ao resgate! Sabendo que eles se referem à distância percorrida (eles não são simplesmente uma razão), podemos interpretar a equação desta forma:

  • x é o quanto você percorreu ao redor de um círculo;
  • \text{sen}(x) é o quão alto no círculo você está.

Então \text{sen}(x)/x é razão entre o quão alto e o quão longe você foi: a quantidade de energia que foi “para cima”.  Se você se move verticalmente, a razão será 100%. Se você se move horizontalmente, a razão será 0%.

Sex(x)/x

Quando alguma coisa se move só um pouquinho, como de 0 para 1 grau na nossa perspectiva, ela está basicamente se movendo para cima. Se ela se mover por uma quantidade ainda menor, de 0 para 0,00001 graus, ela está realmente se movendo para cima. A distância percorrida (x) é muito próxima à altura (\text{sen}(x)).

À medida que x encolhe, a razão fica próxima a 100% — a maior parte do movimento é direcionada para cima. Os radianos nos ajudam a ver, intuitivamente, por que \text{sen}(x)/x se aproximada de 1 à medida que x diminuiu. Estamos apenas esticando uma pequena quantidade na direção vertical. A propósito, isso também explica por que \text{sen}(x) \sim x  para números pequenos.

Claro, você pode provar isso rigorosamente usando Cálculo, mas a intuição com os radianos ajudam você a entender essa ideia.

Lembre-se, essas relações somente funcionam quando se mede ângulos com radianos. Com graus, você está comparando sua altura em um círculo (\text{sen}(x)) com quão longe um observador virou sua cabeça (x graus), e a coisa fica feia bem rápido.

Então, qual a razão deste artigo?

Os graus têm seu lugar: nas nossas próprias vidas somos o ponto focal; queremos ver como as coisas nos afetam. Quanto eu viro meu telescópio, giro meu snowboard ou giro meu volante?

Com as leis naturais, somos observadores descrevendo a movimentação de outros corpos. Os radianos servem para “os outros”, não para nós. Demorou muitos anos para eu perceber que:

  • Graus são arbitrários porque eles são baseados no Sol (365 dias ~360 graus), mas eles funcionam de trás para frente porque eles estão na perspectiva do observador;
  • Porque os radianos estão em termos do movente, as equações “se encaixam” perfeitamente. Converter velocidade rotacional para linear é fácil, e ideias como \text{sen}(x)/x fazem sentido.

Até os ângulos podem ser vistos de mais de um ponto de vista, e entender os radianos tornam as equações matemáticas e físicas mais intuitivas. Happy math.

Um Guia Intuitivo e Visual para os Números Imaginários

Os números imaginários sempre me confundiram. Como acontece com o número e (understanding e), a maioria das explicações cai em uma de duas categorias:

  • É uma abstração matemática, e as equações funcionam. Aceite e pronto.
  • É utilizado em Física avançada, confie em nós. Espere até a universidade.

Puxa, que excelente maneira de encorajar a Matemática entre os jovens! Hoje, entretanto, iremos atacar este tópico com nossas ferramentas favoritas:

E com a nossa arma secreta: aprender por analogias. Abordaremos os números imaginários pela observação dos seus antecessores, os números negativos. Aqui está o seu “livro guia”:

Tabela Números Negativos e Complexos

Ele pode não fazer sentido ainda, mas espere só um pouquinho. No fim deste post, você vai conseguir dar um nó no número i, ao invés do contrário.

Entendendo Realmente Números Negativos

Números negativos não são fáceis. Imagine que você seja um matemático europeu do século XVIII. Você tem o 3 e o 4, e você sabe que pode escrever 4 – 3 = 1. Simples.

Mas o que dizer de 3 – 4? O que, exatamente, isso quer dizer? Como você pode tirar 4 vacas de 3? Como você poderia ter algo menor do que nada?

Os negativos eram considerados absurdos, alguma coisa que “obscurecia todo o conjunto de doutrinas das equações” (Francis Maseres, 1759). Contudo, atualmente seria absurdo pensar que os números negativos não são lógicos ou úteis. Pergunte ao seu professor se eles corrompem as bases profundas da Matemática.

O que aconteceu então? Nós inventamos um número teórico que tinha propriedades úteis. Os negativos não são algo que você pode tocar ou segurar, mas eles descrevem bem certas relações (como as nossas finanças pessoais). Eles foram (são) uma ficção útil.

Em vez de dizer “eu te devo 30” e ficar lendo essas palavras para ver se eu estou no positivo ou negativo, posso escrever simplesmente “-30” e saber que estou no buraco. Se eu devo dinheiro e pago meus débitos (-30 + 100 = 70), posso anotar a transação facilmente. Eu fico com +70 depois, o que significa que estou tranquilo com o dinheiro.

Os sinais positivos e negativos automaticamente mantém o registro da direção (e do sentido) — você não precisa de uma frase para descrever o impacto de cada transação. A Matemática se torna mais fácil, mais elegante. Não importa se os números negativos eram “intangíveis” — eles tinham propriedades úteis, e nós os usamos até eles se tornarem ferramentas do dia a dia. Hoje você pode usar palavras obscenas com alguém se ele não “entender” os negativos.

Mas não sejamos presunçosos sobre o embate: os números negativos foram uma grande mudança mental. Até mesmo Euler, o gênio que descobriu o número e e muito mais, não entendeu os negativos como os entendemos hoje. Eles eram considerados resultados “sem sentido” (Mais tarde Euler resolveu o problema com estilo).

É um testemunho do nosso potencial mental a certeza de que os nossos jovens conseguem entender conceitos que uma vez confundiram grandes matemáticos da antiguidade.

Adentrando os Números Imaginários

Os números imaginários têm uma história similar. Podemos resolver por todo o dia equações como esta:

x^2=9

As respostas são 3 e -3. Mas suponha que algum espertalhão insira na equação um pequenino, minúsculo sinal de menos:

x^2=-9

Ô, ou… Esta questão faz a maioria das pessoas estremecer na primeira vez que elas a veem. Você quer a raiz quadrada de um número menor do que zero? Isso é um absurdo!

Pode parecer uma maluquice mesmo, assim como os números negativos, o zero e os irracionais também pareceram no começo. Não há significado “real” para esta questão, certo?

Errado. Os chamados “números imaginários” são tão normais quanto qualquer outro número (ou tão falsos): eles são uma ferramenta para descrever o mundo. No mesmo espírito de assumir -1, 0,3, e 0 como “existentes”, vamos assumir que existe um número i e que:

i^2=-1

Isto é, você multiplica i por ele mesmo e recebe -1. O que acontece agora?

Bem, primeiro você fica com dor de cabeça. Ao brincar de “vamos imaginar que i exista”, a Matemática torna-se mais fácil e elegante. Novos relacionamentos emergem e podemos descrevê-los sem problemas.

Você pode não acreditar no i, como aqueles velhos matemáticos antiquados não acreditaram no -1. Conceitos novos e desafiantes são difíceis de pegar; eles não fazem sentido imediatamente, mesmo para o grande Euler. Mas como os números negativos nos mostraram, conceitos estranhos podem ainda ser úteis.

Eu não gosto do termo “número imaginário” — ele foi considerado um insulto, uma censura, pensada para ferir os sentimentos do pobre i. Ele é tão normal quanto qualquer outro número, mas o nome “imaginário” pegou, então iremos usá-lo.

Compreensão Visual dos Negativos e dos Complexos

Como vimos da última vez, a equação x^2 = 9 realmente significa:

1 \cdot x^2=9

ou

1 \cdot x \cdot x=9

Qual transformação x, quando aplicada duas vezes, torna 1 em 9?

As duas respostas são x=3 e x=-3. Isto é, você pode “escalar por” 3 ou “escalar por 3 e girar” (girar ou tomar o negativo é uma interpretação de multiplicar por um negativo).

Agora vamos pensar sobre x^2=-1, que na verdade é

1 \cdot x \cdot x = -1

Qual transformação x, quando aplicada duas vezes, torna 1 em -1?

  • Não podemos multiplicar por um positivo duas vezes porque o resultado continua positivo;
  • Não podemos multiplicar por um negativo porque o resultado irá girar de volta para positivo na segunda multiplicação.

E que tal… uma rotação! Pode soar maluquice, mas se pudermos imaginar x como sendo uma “rotação de 90 graus”, então ao aplicar x duas vezes, teremos uma rotação de 180 graus, ou um giro de 1 para -1!

Rodar de 1 para -1

Uôa! E se pensarmos mais sobre isso, poderíamos rotar duas vezes no outro sentido (horário) para tornar 1 em -1. Essa é uma rotação “negativa” ou uma multiplicação por -i:

Rotação Positiva e Negativa

Se multiplicarmos -i duas vezes, a primeira multiplicação transformará 1 em -i, e a segunda transformará -i em -1. Então, na realidade, existem duas raízes quadradas para -1: i-i.

Isso é muito legal. Temos uma espécie de resposta, mas o que ela significa?

  • i é uma “nova dimensão imaginária” para medir um número;
  • i (ou -i) é o que os números se tornam quando rotacionados;
  • Multiplicar por i é igual a uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário;
  • Multiplicar por -i é uma rotação de 90 graus no sentido horário;
  • Duas rotações em cada direção leva à -1: ela nos leva de volta às dimensões “usuais” dos números positivos e negativos.

Os números são bidimensionais. Sim, é de bagunçar a cabeça, assim como os decimais ou divisões longas seriam confusos para um antigo romano. (O que você quer dizer com um número entre 1 e 2)? É um jeito novo e estranho de pensar a Matemática.

Perguntamos “como transformamos 1 em -1 em dois passo?” e encontramos uma resposta: rodando 90 graus. É um jeito novo e e estranho de pensar a Matemática. Mas é útil. (A propósito, esta interpretação geométrica dos números complexos só apareceu décadas depois do i ter sido descoberto).

E também, mantenha em mente que considerar uma rotação anti-horário como positiva é uma convenção humana — ela poderia facilmente ter sido definida da outra forma.

Encontrando Padrões

Vamos lidar com os detalhes um pouco mais. Quando você multiplica números negativos (como -1) sucessivamente, você obtém um padrão como:

  • 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, …

Uma vez que -1 não muda o tamanho de um número, somente o seu sinal, você vai “para trás e para frente”. Para um número qualquer “x”, você obtém:

  • x, -x, x, -x, x, -x, x, -x, …

Essa ideia é útil. O número “x” pode representar, por exemplo, se você está tendo uma semana boa ou uma ruim. Suponha que você alterne semanas boas e ruins; se esta é uma boa, como será daqui a 47 semanas?

x \cdot (-1)^{47}=x \cdot -1 = -x

Então -x representa uma semana ruim. Note como os números negativos “rastreiam o sinal” — podemos jogar (-1)^{47} em uma calculadora sem ter que fazer qualquer conta (“Semana 1 é boa, semana 2 é ruim, semana 3 é boa…”). Coisas que mudam para frente e para trás (cima/baixo, positivo/negativo, bom/ruim), podem ser modeladas com números negativos.

OK. Agora, o que acontece se multiplicarmos por i?

1, i, i^2, i^3, i^4, i^5

Muito engraçado. Vamos reduzir isso:

  • 1=1 (Sem problemas);
  • ii (Nada a fazer);
  • i^2=-1 (é a essência de i);
  • i^3=(i \cdot i) \cdot i=-1 \cdot i = -i (Ah, 3 rotações anti-horário = 1 rotação horária. Legal.);
  • i^4=(i \cdot i) \cdot (i \cdot i) = -1 \cdot -1 = 1 (4 rotações dão a volta no círculo);
  • i^5=i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i (Aí vamos nós de novo…)

Representando visualmente:

Dimensão Imaginária e Real

Damos uma volta a cada 4 rotações. Isso faz sentido, certo? Qualquer criança pode lhe dizer que 4 rotações à esquerda é o mesmo que não dar nenhuma volta. Agora, em vez de focarmos nos números imaginários (ii^2), olhe para o padrão geral:

  • X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y, …

Assim como os números negativos modelam idas e voltas, os números imaginários podem modelar qualquer coisa que rotaciona entre duas dimensões “X” e “Y”. Ou qualquer coisa com uma relação cíclica, circular — tem algo em mente (que tal senos e cossenos)?

Compreendendo os Números Complexos

Há ainda outro detalhe a ser analisado: pode um número ser ao mesmo tempo “real” e “imaginário”?

Pode apostar. Quem disse que precisamos rodar sempre 90 graus? Se mantivermos 1 pé na dimensão “real” e outro no imaginário, teremos o seguinte:

Rotação 1+i

 

Temos um ângulo de 45 graus, com partes reais e imaginárias iguais (1+i). É como um cachorro quente com mostarda e ketchup — quem disse que você precisa escolher só um molho?

De fato, você pode pegar qualquer combinação de números reais e imaginários e criar um triângulo. O ângulo se torna o “ângulo de rotação”. Um número complexo é um nome pomposo para os números com partes reais e imaginárias. Eles são escritos na forma a+bi, sendo:

  • a a parte real; e
  • b a parte imaginária.

Rotação a+bi

 

Nada mal. Mas há ainda a última questão: quão “grande” é um número complexo? Não podemos medir a parte real ou a imaginária isoladamente porque isso omitiria o quadro geral.

Vamos dar um passo para trás. O tamanho de um número negativo não é dado por uma contagem, mas sim pela distância dele até zero. No caso dos negativos, temos:

\text{Tamanho de} \ -x = \sqrt{(-x)^2}= \lvert x \rvert

Que é outro meio de encontrar o valor absoluto. Mas para os números complexos, como podermos medir duas componentes que estão separadas por 90 graus?

É um pássaro… é um avião… não, é o super Pitágoras!

Putz, o seu teorema aparece em todo lugar, mesmo em números inventados 2000 depois do seu tempo. Sim, estamos fazendo um tipo de triângulo, e a hipotenusa é a distância do zero:

\text{Tamanho de} \ a+bi = \sqrt{a^2+b^2}

Muito bom. Enquanto medir o tamanho não é tão fácil quanto “tirar o sinal de negativo”, os números complexos têm seus usos específicos. Vamos dar uma olhada.

Um Exemplo Real: Rotações

Não vamos esperar até a aula de Física da universidade para usar os números imaginários. Vamos tentar usá-los hoje. Há muito mais a dizer sobre a multiplicação de números complexos, mas tenha isto em mente:

Vamos ver. Suponha que eu esteja sobre um barco com a proa virada 3 unidades Leste para cada 4 unidades Norte. Eu quero mudar a direção em 45 graus anti-horário. Qual a nova direção da proa?

Encontrando a direção

 

Algum figurão irá dizer: “É muito simples! Basta pegar o seno, o cosseno, embolar tudo na tangente… pisar em cima… e…” Crack. Desculpe-me, eu quebrei sua calculadora? Poderia responder a questão de novo?

Vamos tentar uma abordagem mais simples: estamos indo na direção 3+4i (qualquer que seja o ângulo; não vamos nos preocupar com isso), e queremos rodar 45 graus. Bem, 45 graus é igual a 1 + i, então basta multiplicar por essa quantidade.

Aplicando os Números Complexos

Aqui está a ideia:

  • Direção original: 3 unidades Leste, 4 unidades Norte = 3+4i;
  • Rotação anti-horária de 45 graus = multiplicar por 1+i.

Se multiplicarmos esses números, obteremos:

\begin{aligned}(3+4i)(1+i) &= 3+3i+4i+4i^2 \\ &= 3+7i \qquad + 4(-1) \\ &= -1+7i \end{aligned}

Então nossa nova orientação está uma unidade Oeste e 7 unidades Norte, que você poderia desenhar e seguir.

E veja só que legal; encontramos o resultado em 10 segundos, sem falar em senos e cossenos. Não usamos vetores, matrizes ou nos preocupamos com qual quadrante estamos. Usamos apenas Aritmética com um toque de álgebra para a multiplicação cruzada. Os números imaginários agregam as regras de rotação: tudo funciona numa boa.

E ainda melhor, o resultado é útil. Temos uma direção (-1,7) em vez de um ângulo (atan(7/-1) = 98,13°, tendo em mente que estamos no quadrante 2). Como, exatamente, você estava planejando desenhar e seguir esse ângulo? Com o transferidor que você carrega no bolso?

Não, você teria que convertê-lo em cosseno e seno (-0,14° e 0,99°), encontrar uma razão aceitável entre eles (aproximadamente 1 para 7), e esboçar o triângulo. Os números complexos simplificam sua vida, num instante, com precisão e sem calculadora.

Se você é como eu, você vai achar esse uso dos números complexos uma maravilha. Mas se você não achar, bem, eu acho que Matemática não é a sua praia. Sorry.

A Trigonometria é ótima, mas os números complexos podem tornar cálculos horrorosos em contas simples (como calcular cosseno(a+b)). Isso é só a entrada; os próximos artigos irão lhe dar o prato completo.

À parte: algumas pessoas pensam: “Ei, não é útil ter indicações de unidades Norte/Leste em vez de ângulos para seguir”!

Sério? OK, olhe para sua mão direita. Qual o ângulo da base do seu mindinho até o topo do seu indicador? Desejo-lhe boa sorte para tentar descobrir por conta própria.

Com as unidades, você pode ao menos dizer: “Ah, são X centímetros para o lado e Y centímetros para cima”, e ter alguma chance de se orientar corretamente.

Complexos, os Números não são…

Esse foi um tour “ciclônico” pelas minhas intuições básicas. Dê uma olhada no primeiro quadro — ele deve fazer sentido agora.

Há muito mais ainda a mostrar sobre esses números belos e doidos, mas meu cérebro se cansou. Meus objetivos eram simples:

  • Convencer você de que os números complexos eram considerados “coisa de maluco”, mas podem ser úteis (assim como os números negativos eram);
  • Mostrar como os números complexos podem tornar certos problemas mais fáceis, usando rotações, por exemplo.

Se eu pareço incomodado sobre esse tópico, há uma razão. Os números imaginárias têm sido um mosca na minha sopa por anos — a falta de uma visão intuitiva deles me frustava.

Agora que eu finalmente tive essas intuições, eu estou muito empolgado para dividi-las. Mas é frustante para mim que você esteja lendo este artigo em um blog de um lunático e não em uma sala de aula. Nós engolimos nossas dúvidas e “vamos em frente” porque não procuramos e compartilhamos ideais mais intuitivas. Triste.

Mas é melhor acender uma vela do que reclamar da escuridão: aqui estão meus pensamentos e um de vocês irá vislumbrar um ponto de luz. Pensar que já entendemos “tudo” sobre um tópico [complexo] como os números é o que nos mantém presos às ideias de sempre.

Há muito mais sobre os números complexos: veja os detalhes da aritmética complexa. Happy math.

Epílogo: …Mas ainda são Estranhos!

Eu sei, eles ainda são estranhos para mim também. Eu tento me colocar na cabeça da primeira pessoa a descobrir o zero.

O zero é uma ideia bastante esquisita em que “algo” representa “nada”, e ele não foi compreendido pelos romanos. Os números complexos são similares — é uma nova forma de pensar. Mas tanto o zero quanto os números complexos fazem a matemática muito mais fácil. Se não tivéssemos adotado novos (e estranhos) sistemas numéricos, ainda estaríamos contando com os dedos.

Eu repito essa analogia porque é tão fácil começar a pensar que os números complexos não são “normais”. Vamos manter nossa menta aberta: no futuro, todos vão rir ao pensar que os números complexos não eram levados a sério, mesmo nos anos 2000.

Se você quiser mais do básico, veja a Wikipedia, a discussão em Dr. Math ou outra argumentação sobre por que os números imaginários existem [todos em inglês].

Repensando a Aritmética: Um Guia Visual

A Aritmética nos fornece ferramentas matemáticas para “esticar, amassar e deslocar” números. Essas transformações são úteis: às vezes há coisas no mundo real que queremos esticar, amassar e deslocar do mesmo modo.

Por que essa ideia é importante?

Ver a Aritmética como um tipo de transformação prepara você para entender o sentido de conceitos aparentemente estranhos, como a raiz quadrada de -1, e visualizar os problemas de uma maneira nova. Vamos dar uma olhada.

Adição

A adição é uma operação simples, mas ela pode ter vários significados:

  • Acumular: contar quantidades similares (itens tangíveis, em geral);
  • Deslocar: mudar um número de posição ao longo de uma escala (para coisas menos tangíveis, como a temperatura);
  • Combinar: criar uma nova quantidade a partir de outras duas diferentes (como as notas de um acorde musical).

Conceitos da Adição

Qual é o significado certo? Tudo depende do contexto. Ao adicionar maçãs, contamos itens semelhantes (3 maçãs + 4 maçãs = 7 maçãs). Ao medir a temperatura, o calor se move ao longo de uma escala (3 graus + 4 graus = 7 graus).

Ao adicionar vetores, uma combinação faz mais sentido: 3 quarteirões a leste + 4 quadras ao norte = 5 blocos em uma nova direção (distância em linha reta). Neste caso, você deve acompanhar os componentes “leste” e “norte” separadamente. Ao adicionar maçãs, você pode combinar tudo: uma vez que você tem 7 maçãs, você não se importa se elas vieram de grupos de 3 maçãs e 4 maçãs.

Uma única operação (adição) pode assumir vários significados intuitivos. E essa lista não é exaustiva – elas são as interações que eu notei; tenho certeza que você tem outras.

Mutiplicação

A multiplicação também podem ser interpretada de várias formas:

  • Repetição: realizar várias adições seguidas.
  • Escala: fazer um número crescer ou diminuir, de uma só vez.

Conceitos da Multiplicação

O contexto determina o significado mais adequado. Com maçãs, “4x” significa transformar uma compra de, por exemplo, 2 maçãs em uma compra de 8 (4 grupos de 2). No Photoshop ou no Paintbrush, “4x” significa ampliar uma foto de 10 centímetros para ela ficar com 40 centímetros de comprimento. Cada significado é diferente: você ficaria chateado se eu te desse uma maçã gigante de 2 quilos ou 4 fotos de 10 cm.

Em um sentido mais restrito, a multiplicação significa “somas repetidas”. Claro. Mas esta nem sempre é a interpretação mais fácil – você consegue somar, repetidamente, alguma coisa por 7,3 vezes?

Negativos e Inversos

Ambos os número negativos e os inversos (multiplicativos) representam a ideia de “reverso” ou “ao contrário”. Mas isso pode ter uma interpretação ambígua: qual é o contrário de multiplicar por dois? É multiplicar por “1/2” ou por “-2”?

Negativo e Inverso

“Ao contrário” neste caso pode significar então:

  • Multiplicar pela metade: transformar um lucro de R$ 1,00 em um lucro de R$ 0,50 (diminuir a escala dele);
  • Multiplicar por -2: transformar um lucro de R$ 1,00 em uma perda de R$ 2,00 (revirar);

Mais uma vez, o nosso contexto determina o significado. Quando uma empresa “reverte um ganho”, isso implica uma perda, isto é, uma multiplicação por um número negativo. Quando nós “revertemos o zoom” da câmera, queremos diminuir a foto (não espelhá-la), de modo a multiplicar seu tamanho por 1/2. Contexto, contexto, contexto (já se cansou dessa palavra?).

Na adição, só há um tipo de oposição: o número oposto a 8 é -8. Mas o truque é saber que -8 realmente significa “0 – 8” ou mesmo “0 + (-8)”: você está se movendo para trás em relação a algum ponto de referência. Recordando os vetores mostrados na seção “Adição”, um movimento “reverso” tem diferentes significados dependendo se o seu sentido original é o leste (o reverso é o oeste) ou o norte (o reverso é o sul).

O que há em uma Equação?

Equações nos obrigam a fazer algumas perguntas. Quando você vê a equação

x^2=9

isso é mais do que apenas um problema do tipo “entra um número, sai outro”. Pense agora sobre esse problema da seguinte forma:

1 \times x^2=9

Qual transformação (multiplicar “x” vezes), quando aplicada duas vezes, vai transformar o número 1 no número 9?

Conceito de Raiz Quadrada

Temos duas respostas:

  • Mudar a escala para 3 (multiplicar por 3): Faça duas vezes e você terá 9: 1 x 3 x 3 = 9;
  • Mudar a escala para 3 e opor (multiplicar por -3): Fazendo duas vezes, você também terá 9: 1 x -3 x -3 = 9.

Estilo. Eu inclui o número “1” para mostrar o que está sendo transformado. Claro, fazer isso é opcional, mas não é algo em que pensamos normalmente. A transformação “multiplicar por 3” está agindo sobre o quê?

Dando esse passo para trás, podemos ver melhor como a Aritmética pode empurrar, puxar, esticar e apertar um número em outro. Modificamos uma transformação grande (multiplicar por 9) em outras duas transformações menores e iguais (multiplicar por 3 ou por -3).

Exemplo do Mundo Real: Números Aleatórios

Chega de teoria – vamos colocar esse mindset (mentalidade) em ação. A maioria das linguagens de programação oferecem uma função random() que dá como resposta um número aleatório entre 0 e 1. Mas e se você quiser um número entre 5 e 10?

Exemplo para Número Aleatório

A pergunta é: como faço para transformar minha faixa de 0-1 em uma faixa de 5-10?

A Aritmética é a solução!

  • Primeiro, estique o intervalo 0-1 em 0-5, multiplicando-o por 5;
  • Em seguida, deslize 0-5 para 5-10, adicionando 5;
  • E tcha-nam! Você tem um intervalo de 5-10.

Experimente abaixo. Você começa com um número “r” e o transforma para o intervalo adequado.

instacalc-random-number

A propósito, essa faixa pode ser as idades 18-65, os anos 1960-2007, ou as temperaturas 15 °C  a 40 °C, para as suas simulações. Não importa a sua faixa, você pode começar com o bloco 0-1 e modificá-lo de acordo.

Claro, você pode descobrir isso sem um diagrama, mas às vezes é bom visualizar o que está acontecendo. Nosso cérebro é um supercomputador para o processamento visual, então vamos usar os seus pontos fortes.

A seguir

Este artigo introduziu a ideia de que a Aritmética é uma transformação. Você torce os números em outros, e cada transformação tem um significado, que é mais ou menos adequado de acordo com o contexto: use aquele que você mais gosta.

O objetivo não é transformar a multiplicação em um complicado processo de diagramação. Mas sim mostrar uma técnica, uma mentalidade, uma nova arma para ser usada em operações aparentemente complexas.

Ao estudar Álgebra Linear (matrizes), você pode ver a multiplicação como um tipo de transformação (dimensionar, girar, inclinar), em vez de um grupo de operações que alteram a matriz ao redor. Essa abordagem vai nos ajudar quando cobrirmos os números imaginários, aquele “monstro terrível” que vive confundindo muitos estudantes.

Pequenos insights (percepções) ajudam você a ter o “clique” para as grandes ideais. Happy math.